高等数学重积分_思维导图模板

高等数学重积分

作者：凌晨

0浏览2023-05-24 17:01:07

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重积分

二重积分的概念与性质

定义

设有二元函数 f(x,y) 和一个有界闭区域，将 D 分成若干个小块，其中第 i 行第 j 列小块位于处，其面积为，则 f(x,y) 在上的加权平均为，其中为中任意一点，则二重积分的定义式为：

其中为小块的面积，积分区域 D的面积也可以写成二重积分的形式，即：

f(x,y)为被积函数，为被积表达式，为直角坐标系下的面积元素，x，y为积分变量，D为积分区域，为积分和

性质

1.设与为常数，则=

2.如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，那么在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和：=。表示二重积分具有可加性

3.如果在D上，f(x,y)=1,为D的面积，那么==

4.如果在D上，f(x,y)g(x,y)，那么有, 由于，又有

5.设M，m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有

6.(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点（，），使得

二重积分的计算法

直角坐标计算二重积分

截曲顶柱体的一个面，截面为一个以[]为底，曲线z=f(x,y)为曲面的曲边梯形，截面面积为=

先对y后对x的二重积分

先对x后对y的二重积分

极坐标计算二重积分

为极坐标中的面积元素，，

设

三重积分

三重积分的概念

定义

设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数。将任意分成n个小闭区域,其中表示第i个小闭区域，也表示它的体积，在每个上任意取一点(),做乘积()(i=1,2,3,...n), 并作和,如果当各小闭区域直径中最大值0时，这和的极限总存在，且与闭区域的分法及点的取法无关，那么称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分，记作,即=

f(x,y,z)叫做被积函数，dv叫做体积元素，叫做积分区域

在直角坐标系中体积元素dv记作，把三重积分记作，其中叫做直角坐标系中的体积元素

三重积分的计算

直角坐标系计算三重积分

把闭区域投影到xOy面，得,以的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，上下两部分为:,:。积分区域={}。在区间上对z进行积分，结果是，x，y的函数F(x,y)=,然后计算F(x,y)在闭区域上的二重积分=,闭区域={},，可得

柱面坐标计算三重积分

x=,y=，z=z

,,,=常数，即以z轴为轴的圆柱面；=常数，即过z轴的半圆面；z=常数，即与xOy面平行的平面。dv=为柱面坐标系中的体积元素

球面坐标计算三重积分