给定变量x和y，按照一定的法则f(x)，使得x对应一个y
遇到f(x+)求f(x)的时候，我们要联想x=进行代换，例1.1
函数严格单调必有反函数（充分条件）
和是同一个函数，才是反函数
铅垂划线——定单值函数还是多值函数
水平划线——定反函数和直接函数
双曲正弦函数（奇函数）——
反双曲正弦函数（奇函数）——
双曲余弦函数（偶函数）——
等价无穷小——~x
求导——~
根据奇偶性积分（偶倍奇0）——
求解反函数的同时，我们需要把原定义域转换成反函数的值域，值域转换为定义域，例如
主要方法：数形结合，将要复合的函数整体带入进去作为自变量，例题1.5
观察法，数形结合
定义：f(x)在定义域D上，存在某个正数M，使得|f(x)|≤M，则称f(x)在D上有界——非常有用（在积分中）
基本不等式
在定义域D上 任给x1>x2，f(x1)-f(x2)>0
在定义域D上 任给x1>x2，f(x1)-f(x2)≥0
f(-x)=-f(x)
f(x)=f(-x)
f(x)+f(-x)为偶函数，如：
f(x)-f(-x)为奇函数，如：
内偶则偶，内奇同外
f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数
任何函数都可以是奇函数和偶函数的和
f(x+T)=f(x)
原函数是周期T的可导函数，则导函数也是周期T的函数
原函数是以T为周期的函数，则复合函数也是以T为周期的函数
f(x)是以周期为T的连续函数，只有当， 为奇函数
一般涉及到函数图像求交点，数形结合
遇到|u|可以用
一般遇到指数比较大的，我们两边取对数
指数函数
拉格朗日中值定理
tanx，cotx
secx,cscx
arcsinx,arccosx 注意定义域arcsinx(x∈(-Π/2，Π/2），arccosx(x∈(-1,1)
sinx(arccosx)=cos(arcsinx)=,x∈(-1,1)
求sinx在0到2Π的反函数，要知道x∈(-Π/2，Π/2)是主值区间
arctanx(x∈R),arccotx(x∈R)
arctanx+arccot=Π/2，x属于R
取整函数
引入中间变量的思想非常重要，尤其是在物理应用中，求速度，加速度等
概念：
充要条件：左极限等于右极限
脱帽法(此类方法非常有用，尤其题目说当极限存在的时候，但又不给出条件,如存在）：
关于后面求一些极限的时候，为什么不需要从左右两边进行讨论？
答：因为有些式子没必要从两边讨论，只有从左右两边逼近使得原式子发生符号的变化，才需要从两边讨论，如这种你无论如何从哪边讨论都是一样的式子，而这种就需要从两边讨论，因为从左右两边取值都使得原式子发生了符号变换，此外，间断点一定要从左右两边去讨论，因为定义就是那样的。可能有这种疑问，为什么这种还需要从左右两边讨论，因为这个会有突变，只需要记住指数函数有突变
极限运用在分段函数也是需要考虑左右极限
简而言之，就是在那个很小的领域内，|f(x)|≤M
极限存在只是局部有界的充分条件，不是必要条件，比如，极限不存在，但有界
简而言之，就是在那个很小的领域内，可以使用脱帽法
定义：当x->x0的时候或者∞，函数f(x)的极限为0，就称f(x)是x的无穷小
有限个无穷小之和还是无穷小
有界函数与无穷小的乘以仍是无穷小
有限个无穷小的乘积仍是无穷小
无穷小的比阶
并不是任意两个无穷小都是可以比阶的，比如，极限不存在
等价无穷小
极限的运算法则（前提是极限要存在）
洛必达
想到泰勒，就要想到等价无穷小，比如可以用泰勒展开得到等价无穷小（相减形式）
看到相加减就要想到什么？
答：泰勒泰勒泰勒！！！
在减法中，泰勒公式非常好用，比如
小技巧：当x->0的时候，遇到lncosx这种可以直接对cosx使用泰勒展开，然后再洛必达
注意：泰勒展开是针对某一点进行展开，对于y=sin1/x这种就不能，因为x->0,1/x趋于正无穷，不是一个值，此外，x不从0处而从其他处（比如x=1)展开，可行,但是实用性低，一般不建议，额外方法到代换，令t=1/x
无穷小的运算（非常有用，在一些题目中，我们只需要管高阶或者低阶的即可，可以简化运算）
两个重要极限外加一个非常重要的等价无穷小：
夹逼准则
看到指数是未知数或者指数很大怎么办？要么对数，要么用e，例如立即推——》采用e
没有分母就要造分母，倒代换x=1/t，例如
七种形式，太多了....
不要忘记上下同除，同乘的形式
判断连续，从定义出发
单调必有反函数
可去间断点：左右极限存在并相等，但不等于函数值
跳跃间断点：左右极限存在但不相等
无穷间断点，左右极限至少一个为∞
振荡间断点：极限不存在，如sin1/x
第一类间断点：记忆，左右极限都存在
第二类间断点：左右极限都不存在
注意极限存在和左右极限存在的区别是什么，极限存在是左右都存在并相等，可以说极限存在是左右极限存在的必要条件
补充：无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大，比如数列1,1,2,1/2,3,1/3...n,1/n,明显n->∞的时候，极限不是无穷大，但是是无界的
在类似于的时候，我们一般把x当作常数，但这不是绝对的，例1.26也是采用了这种方法
例题（提示：讨论x比较e的值）
在不知道间断点且不是以x趋于某个数而是以n趋于某个数的情况下，这个时候我们就需要对x进行讨论，才能得出分段函数，例如
,提示（需要从x<=-1,-11进行讨论）
很多时候我们要结合题目的形式，造出题目所求的模样，例如
求泰勒展开，不要一股脑的带入进去，能先化简单的就搞简单的，比如，先算tanx，再代入
如果遇到乘积，马上想到等价代换，如：后面那部分直接等价无穷小代换，前面那个提出ln2^x，我们遇到ln不要局限于只是把它乘进入，还应想到提出来
区间连续的时候[a,b]，左边a趋应取右连续，右边b应取左连续即可，不必讨论太多（联想概率论）
当遇到根号的时候，还应想到+1或者-1操作，用1构成平方差公式
例题
当遇到x->∞ sin1/x这种类型，除了倒代换（令t=1/x），还有令或
永远不要忘了极限的四则运算法则，如和差的极限等于极限的和差，有时候用这个比使用泰勒更快（用这个方法的时候需要观察一下，不能直接使用，因为运算法则前提是极限存在，以下这个观察可用，左边则不行），例如：
题目想要什么我们就造什么（提示：sin(Πx)=sinx(Πx-Π+Π)
这里不能直接代入求值，因为x->∞的时候，是一个未定义的数，所以不能用∞-∞=0这样来计算，∞-∞利用倒代换或者同时提出x，创造分母
积分上限（小技巧）：观察,所以当i=1，下限为0,当i=n,上限为1（n->∞）
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