线性代数（包含考研所有内容）_思维导图模板

线性代数

第一章：行列式

行列式的定义与性质

本质定义（第一种定义）
（柯西定义）

n阶行列式是由n个n维向量组成

n阶行列式计算的结果是以这n个向量为邻边的n维图形的体积

每个向量（每一行）可以视作一个从0指向该坐标点的向量

若这n个向量线性相关或者某行为0（只有一条线）

少了一个维度构不成体积

矩阵计算结果为0

所以行列式必须是方形的

性质

①行列互换，其值不变

行列地位等价（可互换）

②若行列式中有一行或者一列为0，则行列式计算结果为0

少了一个向量=少了一个维度，无法测出该维度的体积（如只剩面积且高是0）

③若行列式中某一行（列）有公因子k（k≠0），则k可提到行列式外面

若行列式外面带个常数，则只能乘到行列式中的某一行

④若行列式中某一行（列）的元素全是两个数的和，则能拆成两个行列式的和

单行（列）可加（拆）性

要注意，不是两个行列式直接就能相加（拆分），而是某一行是两个向量相加而其他行的向量都全部相同才行

⑤行列式中两行（列）互换，行列式变号

⑥行列式中两行（列）元素相等或者对应成比例（线性相关），则行列式=0

⑦行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

用④和⑥证明

逆序数法定义（第二种定义）

排列和逆序

排序

由n个数1，2，3，4，...组成的一个有序数组为一个n级排列

n级排列有n！个

逆序

若数字大的排在数字小的前面，这两个数构成一个逆序

逆序数

一个排列中，逆序的总数被称为逆序数

自然排序的逆序数为0

计算

先把行排列好，再看后面的数来算逆序数

从左往后数比自己小的数有几个，全部加起来

奇排列

排列的逆序数为奇数

偶排列

排列的逆序数为偶数

n阶行列式的定义

n阶行列式有n！项

每一项是在每一行和每一列分别取一个不重复的项组成的乘积

某一行（列）取过这个项，那其他行（列）不能取这个项了

若某一项中已经取了某个位置元素，那和它乘积的其他元素不能取和这个元素同一行和同一列位置的元素

每一项前面添加正负号，若是奇排列就填负号；若是偶排列就填正号

最后将这些项全部相加就是行列式的第二种定义

展开定理（第三种定义）

思想

降阶

注意

子式=行列式

子矩阵=矩阵

余子式

在行列式中，去掉元素当前行和当前列的所有元素剩下的按原来顺序排列的行列式

代数余子式

的代数余子式=余子式乘以

展开公式

行列式按某一行（列）展开

尽量找元素为0多的某一行（列）

几个重要的行列式

①主对角线行列式（上、下三角形行列式）

行列式的值=主对角线元素的连乘积

证明方法：逆序数法

②副对角线行列式

行列式的值= X 副对角线上元素的连乘积

证明方法：逆序数法

③拉普拉斯展开式

主副对角线行列式的计算相似

其中o是元素全是0的矩阵

副对角线中的mn次方是指交换了mn次

④范德蒙德行列式

只盯着第二行

例子

行列式的计算

具体型

化为基本型

①直接展开法

某行或者某列有最多的0元素

②爪型行列式

形态

方法

①若不是爪型行列式，找到相似的行，乘以负数消掉与它相似的行，化出尽可能多的0，并将其化简成爪型行列式

②若是出现爪型行列式，用斜爪子去消去平爪子

③将其化为三角行列式

④按三角行列式的方法求解

③异爪型行列式

形态

方法

对于阶数不高的

①按元素最多的一行展开

②其他算术余子式全部为三角行列式

对于阶数高的

用递推法

④行（列）和相等的行列式

方法

①将所有行（列）加到第一列（行）

行相等加到第一列；列相等加到第一行

②提出公因子

出现一行（列）全为1

③其他行（列）都减去第一行（列）

④得到三角行列式

⑤按三角行列式的方法求解

例子

特别需要记忆的行列式结果

⑤三角行列式

主对角线

副对角线

根据以上重要行列式性质得解

⑥拉普拉斯行列式

注意

一定要满足行列式的斜对角分块元素为0

如果不为0需要进行换行操作，使其变成拉普拉斯行列式

例子

错的原因是对角分块不为0

正解

⑦范德蒙德行列式

注意

一定存在一行（列）全是1的

如果没有则需要变换得到

⑧以上方法都穿插使用行列式的七个性质

递推法（难点）

适用（前提）

当阶数较大的异爪型

①元素分布规律相同

②只比少一阶

原理

找到和的关系

步骤

异爪型1

①先将所有元素加到最后（第）一行（列）

②按最后（第）一行（列）展开

得到一个三角行列式和一个小一阶的行列式

③找到和的关系

要注意展开式中的负号的次方也会随着改变

异爪型2

①按爪子的末尾的一行（列）展开

②找到和的关系

要注意展开式中的负号的次方也会随着改变

行列式表示的函数和方程

计算方法和前面基本型一致，只是行列式内部变成了未知数

抽象型

用性质

①先简化目标式

先将复杂的目标式子简化，如有相加的看看能不能通过变换消掉符号

②根据已知条件，进行行列变换求解

用公式

将线性组合表示成矩阵乘积的形式

整合式=公因子×对应系数的竖排列组成的矩阵

如

余子式和代数余子式的计算

行列式的值=某一行的值分别乘以其代数余子式

步骤

①若题目要求的某行代数余子式中出现余子式

先将余子式转化成代数余子式

②改变原本行列式，将该行的数值替换成代数余子式前面的系数

③计算该行列式的值，即为目标代数余子式的值

例子

若已知某一行的代数余子式（含参数ab），和另外一行的元素，要求余子式中的参数值

用互交法（|A|=0的特性）

令代数余子式的行的每个元素的值乘以对应已知每行元素

克拉默法则

用于解决AX=β方程的解

①先写出矩阵A、β列

②算出|A|

③用β列替换某一列（如第一列）得到矩阵A1

得到解X1=|A1|/|A|

其他解就是用β替换并用③得到

第二章：矩阵

矩阵的定义及及其基本运算

定义

矩阵的秩

组成该矩阵的线性无关的向量个数

记为r（A），A为矩阵

矩阵

由m×n个数排成的m行n列的矩形表格

当m=n时，A为n阶矩阵（n阶方阵）

矩阵和行列式的区别

矩阵表示的是一个表格，只有里面的元素全是0才等于0

矩阵不一定是方的

行列式表示的是一个数，经过计算得到结果

行列式必须是方的

同型矩阵

若A和B都是m×n的矩阵，则A和B为同型矩阵

基本运算

相等

行列相等，对应元素相等

加法

矩阵对应位置的元素相加

数乘矩阵

kA=Ak=每个元素都乘以k

数乘矩阵的行列式

若A是n×n的矩阵，则

矩阵的乘法

前提

矩阵A的列数必须与B的行数相等

运算规则

某个位置的元素是两个矩阵中的两个向量的内积

一行乘一列为一个数；一列乘一行为一个矩阵

满足运算规律

转置矩阵

定义

将矩阵A的行列互换，得到转置矩阵

运算规律

①

②

③

④

⑤当m=n时（方阵），

斯密特正交化

前提

本身不正交

内积

适用

线性无关向量组的标准正交化

公式

（括号表示内积）

是标准正交向量组

得到的是正交向量组

矩阵的幂

注意

若,则

方阵行列式

推不出A=0

推不出

A、B为同阶方阵

几种重要矩阵

零矩阵

元素全为0就行

单位矩阵

主对角线为1，其他元素全为0的n阶方阵

记为E或者I

数量矩阵

数k与单位矩阵的乘积

对角矩阵

非对角元素全为0

上下三角矩阵

对称矩阵

反对称矩阵

主对角线上元素为0

其他对应位置的元素互为相反数

正交矩阵

A的每一行的向量的模为1，且每个向量之间正交

分块矩阵

定义

按横、纵线将矩阵分成若干小块，每一块为原矩阵的子块，把子块看作一个元素，这些元素构成的矩阵为分块矩阵

基本运算

加法

数乘

乘法

分块对角矩阵的幂

考点

考点1

求的基本功

基本题型

①A是方阵且r（A）=1

②试求通过递推求

③令，通过二项展开式求解

前提是BC=CB

题型1：A是方阵且r（A）=1

矩阵（列×行），求

注意

一行乘一列为一个数；一列乘一行为一个矩阵

方法

①将A展开

②想办法将中间的行列式变成一个数

对展开式子中间进行结合律

③合并中间的数，并提到前面

④得解

例题

只给一个矩阵A,要求

注意

一行乘一列为一个数；一列乘一行为一个矩阵

因为这种题型只给了一个矩阵，需要将其还原成一列乘一行

方法

①将矩阵还原成一列乘一行

找到各行之间的比例系数为列元素

找到最小公因子的某一行为基准行

②后面的步骤按照题型1的方法就行

结论公式（之间套用）

其中指的是A中对角线元素的和:tr(A)

题型2：试求通过递推求

方法

①先试求

②再通过它们的乘积组合成目标

题型3：令，通过二项展开式求解

前提

BC=CB

方法

①将矩阵拆分成两个容易算的矩阵

②利用莱布尼茨公式进行展开该二项式的n次方

一般拆分到前几项，后面几项一般都为0

③只需要求解剩下来的矩阵之和

题型4：若A可相似对角化

则

矩阵的逆

定义

必须为方阵，

AB互为逆矩阵

可逆的充分必要条件

性质与公式

①

②

k≠0

③

④

⑤

求逆矩阵

用定义求逆矩阵（抽象型题目）

①求一个矩阵B，使得AB=E，则

步骤

①将矩阵条件关系式进行左右变形

②左边凑出目标式和其他式子的乘积，右边为单位矩阵

③则根据公式，那个其他式子就是逆矩阵

②将A分解成若干个可逆矩阵的乘积，
（可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵）

步骤

将要求的目标式变形成两个已知可逆式子的乘积

一般是提取公因子将和、差化为乘积

用伴随矩阵求逆矩阵（具体型）

用初等变换求逆矩阵（具体型）

伴随矩阵

定义

将矩阵的代数余子式按列排列组成的矩阵

任意n阶方阵都有伴随矩阵

使其满足

性质与公式

①

②

③

用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵（具体型）

步骤

①先算

②

注意正负号

③写

常考分块矩阵中的二阶矩阵逆矩阵

常用公式方法

先求

=主对调，副变号

求伴随矩阵的方法

1.先求,再拼成

公式法

2.若A可逆，

常用多种公式

初等变换与初等矩阵

初等变换

倍乘

互换

倍加

初等矩阵

定义

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

倍乘初等矩阵

第i行乘k倍

互换初等矩阵

第ij行互换

倍加初等矩阵

第j行乘k加到第i行

性质与公式

①初等矩阵的转置仍是初等矩阵

②初等矩阵的行列式

③初等矩阵都是可逆矩阵

④左行右列变换

对n阶矩阵A进行行变换相当于在A左边乘一个矩阵；进行列变换相当于在A右边乘一个矩阵

⑤若A可逆，则A一定可通过有限次初等变换变成同阶单位矩阵E

用初等变换求逆矩阵

步骤

①在该矩阵后面拼一个和它同阶的单位矩阵

②通过行变换将其前半部分转化成单位矩阵

③得到变换后单位矩阵右边的矩阵就是要求的逆矩阵

简单分块矩阵的逆

主对角线型

正对角线直接写逆号；副对角线需要交换变量再写逆号

副对角线缺型

主对角线不变；0位置不变，剩下一个元素：左乘同行，右乘同列，前加负号

主对角线缺型

副对角线交换；主对角线交换，0位置不变，剩下的元素左乘同行，右乘同列，前加负号

行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵

①若存在0行，则0行全在非0元素下方

②非零0行的第一个非0元素的列数必须从上往下是增大的

也就是上一行的非0元素要比下一行的非0元素靠左一格或者几格

行最简阶梯型矩阵

①是行阶梯型矩阵

②非0元素全部为1，且这个元素的同一行列其他元素都是0

矩阵方程

定义

含有未知矩阵的方程

方法

①移项提取出未知矩阵

②左右乘矩阵或者逆矩阵

等价矩阵与矩阵的秩

等价矩阵

秩相等的矩阵

A与B是等价矩阵

则PAQ=B

秩

定义

k阶子式不为0，k+1阶子式为0，则r(A)=k

求法

将A用初等行变换化为行阶梯型矩阵，非0行数就是A的秩

几个重要式子

若A是m×n的矩阵

①0≤r(A)≤min{m,n}

②r(kA)=r(A)

③r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④r(A+B)≤r(A)+r(B)

⑤

其中A为n阶方阵

⑥若,则

⑦

公式汇总

一些题型

1.给定两个矩阵AB，求一个矩阵P使得PA=B

本质上是求A到B进行的变换操作

左乘表示行变换，右乘表示列变换

步骤

①将A通过变换，转换成B

②记下其中进行的所有操作

③将操作转化成初等矩阵的乘积

这些一系列初等矩阵的乘积就是P

第三章：向量组

向量与向量组的线性相关性

向量

定义

一个n维向量：n个数构成的一个有序数组

运算

加法

对应位置相加

数乘

向量的内积与正交

向量内积

若a,b是两向量

向量正交

定义

标准正交向量组

若向量组满足

只有斜对角存在元素

则为标准或者单位正交向量组

正交矩阵

A的每一行的向量的模为1，且每个向量之间正交

线性组合

线性表示

能被线性表示

β与α向量是线性相关的

且说明α向量的维度高于β的维度

不能被线性表示

说明β与α是线性无关的

线性相关性

相关

线性相关

若存在不全为0的数，使得

只要存在至少一个K不为0就行

含有零向量或有成比例的向量的向量组必定线性相关

无关

线性无关

仅当数，才有

要求K全为0

单个非零向量，两个不成比例的向量均线性无关

向量组要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一且仅居其一

利用定义法解题：要求一组向量线性无关/相关

①先设一组数

②写出

③想办法分别求解出

这里可以利用题目条件消掉后面的项

例题

判别线性相关性的七大定理

定理1

1.1向量组线性相关的充要条件

向量组至少有一个向量可以由其余的n-1个向量线性表示

注意，是至少有一个，但这一个不是任意的一个

某个向量不能被其他向量表示，但这个向量组仍有可能是是线性相关的

1.2向量组线性无关的充要条件

向量组任一向量都不能由其余的n-1个向量线性表示

没有多余的向量

定理2

若线性无关，线性相关，则β可由线性表示,且表示法唯一

定理3

3.1若向量组可由向量组线性表示，且t>s，则线性相关

以少表多，多的相关

3.2若向量组可由向量组线性表示，且线性无关，则t≤s

高维度的向量可表示低维度的向量，但低维度的向量不能表示高纬度的向量

定理4

4.1向量组线性相关等价于 Ax=0方程组有非零解《==》 r(A)

4.1向量组线性无关等价于 Ax=0方程组仅有零解

(方程个数为n，变量个数m)

如果n

如果m=n，求解行列式

线性相关

AX=0有非零解

线性无关

AX=0仅有0解

定理5

若向量β能被向量线性表示

等价于Ax=β有解

等价于r(A)=r(A,β)

β相等于多余的一个向量

若向量β不能被向量线性表示

则说明Ax=β无解

等价于r(A)≠r(A,β)，r(A)+1=r(A,β)

β不是多余的向量，而是新增加的一个向量

定理6

变化点

这里变化的是向量的个数（变化α的个数）

向量组部分相关，则其整体相关

部分相关说明其中“有”能被其他向量表示的，所以再增加也是相关的

向量组整体无关，则其部分无关

整体无关说明”每一个“都不能被其他向量表示，所以怎么取子集都是线性无关的

定理7

变化点

这里变化的是方程的条数（α的维度增加）

向量组原来无关，则延长之后也无关

原来无关说明仅有0解，延长说明增加约束，还是0解

向量组原来相关，缩短之后也相关

原来相关说明有非零解，缩短说明减少约束，可能会出现更多非零解，但原有的解还是成立

极大线性无关组

定义

在向量组中取出一部分满足以下条件

①线性无关

②向量组中任意向量a都能由线性表示

求法

①将列向量组成矩阵，作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，并确定r(A)

②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵

元素行数相同的列任意取其一即可

等价向量组

定义

向量组A、B之间可以互相线性表示

向量组和它的最大线性无关组是等价向量组

充要条件(判别)

r(A)=r(B)=r(A|B)

而且要同维度

等价向量组与等价矩阵的区别

矩阵等价

PAQ=B，行列都要相同

等价向量组

方程组个数相同，但向量个数可不同

向量组的秩

最大线性无关组所包含的向量个数

在求秩的时候可以进行行列的交替变换，而求方程组、极大无关组的时候不行

重要定理和公式

三秩相等

r(A)=r(A的行向量组)=r(A的列向量组)

经过初等行变换的向量组是等价向量组

经过初等行变换的部分向量组也具有相同的线性相关性

因为它们是同解方程组

高维度的向量可表示低维度的向量

若a能被b表示，则r(b)≥r(a)

矩阵或者向量组的秩是唯一的，但最大无关组不是唯一的，用最大无关组表示其余变量时表示法唯一

一个矩阵可由其最大无关组和一个变换矩阵的乘积构成

若出现“A=BC,求CB”等类似问题

可转换求该最大无关组的问题

一般B是矩阵A的最大无关组

r(AB)≤min{r(A),r(B)}

r(A+B)≤r([A,B])≤r(A)+r(B)

若A列满秩，r(AB)=r(B)

若B行满秩，r(AB)=r(A)

C矩阵法

若C=AB，且A为列满秩

则r(C)=r(B)

若AB=0，r(A)+r(B)≤n

n为A的列或B的行

若AB=0，则A的列向量和B的行向量都线性无关，因为都＜n

在同一矩阵，不同特征值的特征向量无关

Aα线性相关讨论

A是矩阵，α是向量

若α是相关的

则Aα相关

若α是无关的

则看A

若A是可逆的

则Aα无关

若A是不可逆的

Aα相关

行（列）向量等价可推矩阵等价，但反过来不可以

r(α|β）≤r(α)+r(β)

若α和β是两个n维实向量，并且每个α和β都正交

则r(α|β）=r(α）+r(β)

若β与A的行向量正交或者β是AX=0的解

则A的行向量与β是线性无关的

向量空间（仅数学一）

概念

基

线性无关的有序向量组

基向量的个数n就是向量空间的维数

坐标

基的列编号

维数

基的行数

基变换与坐标变换

基变换公式

一个基乘A以一个变换矩阵C得到另一个基B

AC=B

过渡矩阵

C是A过渡到B的过渡矩阵

坐标变换

若η在A和B的坐标为x、y

则η=Ax=By

一些题型

求过渡矩阵

直接求

求某向量η在某个基A下的坐标

设x为未知坐标

建立方程组Ax=η

求解方程组，解出各个x

求某个向量η在某几个基下的坐标

先找到其在一个基下的坐标

然后通过坐标变换，将这个坐标变换成其他坐标

以前坐标乘以变换矩阵C，得到新坐标

求某向量η，使其在某几个基(A/B)下有相同的坐标

设x为未知坐标

令Ax=Bx

移项(A-B)x=0,解出各个x

题型与技巧

证明线性无关

先求|A|

若不等于0

线性无关

若等于0

线性相关

若目标行列式是复合式子无法单独求

利用定义法解题：要求一组向量线性无关/相关

①先设一组数

②写出

③想办法分别求解出

这里可以利用题目条件消掉后面的项

例题

第四章：线性方程组

齐次线性方程组

形式

有解的条件

当r(A)=n（线性无关）时

有唯一解，解就是0

满秩

当r(A)=r

有无穷多解（有非0解），且有n-r个线性无关解

n-r个自由变量

不满秩

独立方程个数（维度）<未知数个数（变量数）

这个无穷多解可用这n-r个自由变量（线性无关）的线性组合来表示

解的性质

任意两个解的线性组合仍然是齐次线性方程的解

基础解系和解的结构

基础解系

①是方程组Ax=0的解

②线性无关

③方程组Ax=0的任一解均可由这n-r个线性无关的解的线性组合来表示

通解

n-r个线性无关的解的线性组合

求解方法与步骤

①先写出方程Ax=0的系数矩阵，并将矩阵A进行初等行变换化成行阶梯形矩阵

②按列找出一个秩为r的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量

③按基础解系定义求出,并写出通解

先求自由变量个数S=n-r

设n-r个解

再确保这S个变量线性无关

在这个变量取1的时候，其余自由变量取0

保证这个自由变量是Ax=0的解

在求自由变量中其他位置的取值时，从下往上满足方程

非齐次线性方程组

形式

有解的条件

r(A)≠r(A|B)

无解

r(A)=r(A|B)=n

有唯一解

r(A)=r(A|B)

有无穷多解

解的性质

非齐次方程的解相减是齐次方程的解

非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解

求解方法与步骤

①先求出其齐次方程的通解

②再求一个非齐次方程的特解

这里前面处理的步骤一致，但处理的对象的增广矩阵A|B

化成行阶梯形矩阵后，自由变量项全取0，让整行的值=右边的b，从下往上操作

③Ax=b的解=①中的解+②中的解

方程组有解的条件以及解的判别

两个方程组的公共解

定义

齐次线性方程

同时满足Ax=0和Bx=0的解x

非齐次线性方程

同时满足Ax=b和Bx=b的解x

属于两个方程的交集解

求解方法

方法一：只知道两通解或者两方程组，求解公共解

①分别求出两个方程的齐次方程的通解

任意常数分别为k和l

②让它们相等，得到k之间、l之间的关系

目的是为了将多个解合成一个解

③等式两边根据系数关系进行合并，随便取一边作为公共解

都相等，无所谓

方法二：已知一通解，但另一个方程组内含参数未知，求解公共解

①先求两通解

②利用性质求解未知数

若两方程组有公共非零解，则所有通解组成的系数矩阵的行列式=0

③求公共解

法一

利用求出的关系，并用

公共解就是

法二

同解方程组

定义

属于两个方程的全部且相同的解

Ax=0和Bx=0的解x相同

性质

若Ax=0和Bx=0是同解方程组

①互相的解可代入成立

②r(A)=r(B)=

竖着写，三秩相同

③或者Ax=b有解

可推出

④Ax=0和是同解方程组

解法

已知一方程组，另一个方程组含参数，两方程组同解，求参数

①先算已知方程组的一个特解

②将其代入到另一个含参方程得未知数

两方程组都含参，求参数和通解

①联立两方程组，系数矩阵的秩

r(A)=r(B)=

一些性质与结论

线性方程组AX=B的导出组的解就是AX=0的非零解

就是系数矩阵的解

题型与技巧

1.求与两向量、都正交的向量
（拓展到与n个向量都正交也是类似）

①设一个向量

②这个向量分别与内积=0列出方程式

得到两个方程的方程组

③写出系数矩阵A，按求齐次线性方程组的方式求其通解

例

张宇p81、例4.2

2.考虑是不是某方程的基础解系

确保以下三个条件

①自由变量S有n-r个

②这些n-r个自由变量是方程的解

③这些n-r个自由变量之间是线性无关的

3.在判断一个非齐次方程组解的情况时，没有给出r（A）与r（A|b）的关系

考虑把方程组转置来看

当r(A)=其行数时

各行的方程之间线性无关

每一行相当于一个变量

若之前的变量都线性无关，那么延长这个变量的分量也是线性无关

所以在每行的末尾增加一个变量b，这些行之间也是线性无关

所以Ax=b有解

4.未知方程组AX=B，而已知解，要求通解

1.观察解的未知数个数=n

2.计算自由变量s=n-r(A)

3.通解=k乘AX=0的解+AX=B的特解

AX+0的通解可以由两个解相减

特解随便拿一个解下去

5.已知通解，求原方程系数矩阵（齐次方程）

法一

①先将通解转置后组成矩阵B

②求矩阵B的通解

③将B的通解转置后组成的矩阵A为原方程系数矩阵

法二

设一列变量，将通解转置后与这列变量组合成矩阵B

化简矩阵B成最简，并确保前面的变量能表示后面的（合并后的秩=之前的秩）

得到方程组

例子

6.已知通解，求原方程系数矩阵（非齐次方程）

设一列变量，将通解和特解转置后与这列变量组合成矩阵B

注意通解放前面，特解和设的变量放在右边且相邻

化简矩阵B成最简，并确保前面的变量能表示后面的（合并后的秩=之前的秩）

除去前面几个通解的列，剩下的行组成一个等式方程

c的式子为x变量，常数为AX=B中的B的值

得到方程组

例子

7.若AX=B，要求B能被A唯一表示，且要求表达式

①先满足唯一表示要求，r(A|B)=n=r(A)

②求解出X

（A|B）左边化成E，右边的为X

③X中的系数分别乘以得到唯一表达式

8.若AX=B，要求B能被A非唯一表示，且要求表达式

①先满足唯一表示要求，r(A|B)=r(A)＜n

②求解出通解

特解+齐次通解

③通解中的系数分别乘以，再加上特解，得到表达式

第五章：特征值与特征向量

特征值和特征向量

定义

Aξ=λξ

其中ξ被称为矩阵A的特征向量，λ被称为矩阵A的特征值

本质

一个矩阵A作用在一个向量ξ的效果相当于一个数λ作用在一个向量ξ

在对向量ξ的作用上，A等价于λ

矩阵A对向量ξ只起到了放大和缩小的作用，等于一个数λ倍乘了向量ξ

求特征值和特征向量的步骤

①对角线写|λ-A|，其他元素在前写负号

②通过变换或者展开式求出矩阵λ-A的行列式|λ-A|,并令其=0

令|λ-A|=0

这里如果展开式是一个高次方的多项式，可以采用试根法+分式除法进行因式分解

试根法

分式除法

③根据以上求出特征值

④分别把λ代回矩阵[λ-A]

进行行变换得到行阶梯形矩阵，得到最大秩r

算自由变量数S=n-r

再确保这S个变量线性无关

在这个变量取1的时候，其余自由变量取0

保证这个自由变量是Ax=0的解

在求自由变量中其他位置的取值时，从下往上满足方程

分别算出这n-r个解

也就是特征向量

试根法

若，则f(0)=0

常数项=0

此时0是f(λ)=0的根

若，则f(1)=0.

所有系数相加=0

此时1是f(λ)=0的根

若偶此项系数（包括常数项）之和=奇数项次数之和

此时-1是f(λ)=0的根

若最高项系数=1（），其他不变，则f(λ)=0的有理根都是整数，且是的因子

性质和重要结论

1.判断λ是否为特征值

|λE-A|=0

是

|λE-A|≠0

不是

矩阵可逆，满秩

常见考题

若出现|aA+bE|=0

则特征值为

2.若是A的n个特征值

tr(A)=

矩阵A的迹

k阶主子式之和=任意k个特征值乘积之和

若是项，则少其余都有，相乘

相当于除了第n行第n列以外的矩阵的特征值相乘

如果阶数＞要求的余子式个数

有n阶，=除了第n行第n列以外的矩阵的n个特征值相乘

3.ξ是矩阵A的特征向量

充要条件

ξ是（λE-A）x=0的非零解

4.k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量

5.矩阵A不同特征值对应的特征向量之间线性无关

同一特征值的特征向量有可能相关也可能无关

6.一个特征值可以对应多个特征向量（取最大无关组时任取），而一个特征向量只能对应一个特征值

①若几个特征向量都对应同一个特征值，那它们的线性组合仍是该特征值的特征向量

②若有两个特征向量对应不同的两个特征值，那它们的线性组合不是这两个特征值的特征向量

7.若f(x)为多项式，矩阵A满足f(A)=0，λ是矩阵A的任意特征值，则f(λ)=0

这里常运用于题目给出一个关于f(x)的式子，将其移项得到f(x)=0，用λ替换掉A，从而求出A

这个f(x)的式子有时候离不开r(A)=1的结论

其中指的是A中对角线元素的和:tr(A)

8.原矩阵A不满秩，则0是其特征值

9.能直接写出特征值

矩阵

对角矩阵，三角矩阵，r(A)=1的矩阵

式子

形如|A-λE|=0或者|aA-bE|=0的式子

的特征值为0,0,.........,

10.秩为1的n阶矩阵A（r(A)=1）,其特征值

任意n-1个特征值为0，剩下一个特征值为主对角线上的元素之和

11.若α和β为n维列向量

则的特征值为0,0,.........,

10是其原因，

12.快速计算特征值，拿到一个矩阵之后先不要做，先分析其矩阵是否可拆分成λE+A或者秩为1的一个矩阵+kE

若到可拆的则拆

斜对角线加的数是一致的，可提出为λ倍

若遇到斜对角线系数不一致的

每行分别除以这个数，以得到+E

然后拆出E+A，根据r(A)=1,得到特征值（0,0,0，....tr(A))

之后特征值再加上E，得到特征值（1,1,1,.....1+tr(A))

常用矩阵的特征值与特征向量

特征值与特征向量的关系

对于普通矩阵

线性无关

线性可相关也可线性无关

对于实对称矩阵

可垂直也可不垂直

题型与技巧

用定义法求原矩阵

由特征值和他们所对应的特征向量求原阶矩阵A

①利用定义写出等式

②将所有等式合并在一起组成一个大等式

③利用方程组求解XA=B

先转置拼在一起，左边行变换成E，右边就是解

结果要转置回去

已知特征向量和特征值，求和一个向量α的乘积

如果按上面的方法先求A，则非常难算，一般是用定义

①α可用特征向量表示

求解方程

拼接矩阵，左边化E，右边为解

②再写表达式

利用，，再代入式子得解

若已知两特征向量、原矩阵A不满秩，要求剩余一个特征向量和特征值、原矩阵A

①一般可根据题目给出等式求出已知两特征向量对应的特征值

若是等式并起来的要分开

②因为A不满秩，所以剩余的特征向量为0，求特征值为0的特征向量

和以上两个已知的特征向量正交即可

详细：将以上两特征向量横着并称一个矩阵，求其基础解系即为特征向量

③求原矩阵就用解方程的办法即可

利用方程组求解XA=B

先转置拼在一起，左边行变换成E，右边就是解

利用定义写出拼接等式

结果要转置回去

已知两特征向量，和三特征值，要求原矩阵A和剩余一个特征向量

①剩余的一个特征向量与原来两个特征向量都正交

将两个特征向量拼起来，求其基础解析

②用初等变换法求原矩阵

已知三特征值和一特征向量，要求原矩阵A

法一

①剩余两特征向量与已知一特征向量正交

得到两特征向量

②三特征向量单位化

③用初等变换求原矩阵，利用方程式

法二

①将三个已知的特征值进行加减，使其只剩一个非零值

如0，0，3

②由于特征值加减了，原矩阵要变成A=B±kE

③利用性质，若r(B)=1,则可构造：B=c·a·aT

其中c=入/(a,a)

a为其特征向量

入为a对应的非0特征值，如3

④有了B就能±E得到原矩阵A

若已知Ax=B有三个线性无关的解

马上可以知道AX=0有两个线性无关的解=s

非齐次解相减=齐次的解

马上可以得出系数矩阵A的秩，r(A)=n-s=n-2

若r(A)=1，则可以进一步得到特征值为0，0，.....，tr(A)

若已知A^n=一个矩阵，要求A

1.若这个矩阵A能拆成两个向量相乘，则利用A^n=tr(A)^(n-1)·A

2.若这个矩阵A有规律，则利用规律求解

3.利用特征值求解

①先算A^n的特征值，用|入－A^n|

得到的是A^n的特征值，要开n次根号

②再求特征向量

③把A展开成n个乘积的矩阵形式：[^n]=Qt A Q·Qt A Q·Qt A Q·····（n个）

④取出一个^=Qt A Q

A=Q^Qt

相似

矩阵相似

定义

若存在n阶可逆矩阵P，使得，则A相似与B，记为A~B

性质

A~A

若A~B，则B~A

若A~B，B~C，则A~C

r(A)=r(B)

tr(A)=tr(B)

所有的

|λE-A|=|λE-B|

r(λE-A)=r(λE-B)

各阶主子式之和分别相等

重要结论

若A~B，则，f(A)~f(B),其中f(x)是多项式

若A~B

若

判断两个矩阵是否相似

①定义法

找n阶可逆矩阵P，使得

②传递法

若

③性质法（假设相似）

r(A)=r(B)

tr(A)=tr(B)

所有的

|λE-A|=|λE-B|

r(λE-A)=r(λE-B)

各阶主子式之和分别相等

矩阵的相似对角化

定义

若存在n阶可逆矩阵P，使得，其中是对角矩阵，则称矩阵A可相似对角化，是A的相似标准形

条件

充要条件

n阶矩阵A可相似对角化

A有n个线性无关的特征向量

A对应于每个K重特征值都有k个线性无关的特征向量

充分条件

n阶矩阵A有n个不同的特征值

n阶矩阵A为实对称矩阵

A可相似对角化

求可逆矩阵P，使得

①求矩阵A的特征值

①稳定直接|λE-A|求

②更快的求λ的方法

若r(A)=1,根据定理

一般取n=2，，

这里用特征值替换

解出λ的取值范围

接着，利用进一步解出各个λ

②求A对应于特征值的线性无关的特征向量

不需要正交化、单位化

③令P=[]

由特征值、特征向量反求A

若，则

注意常出考题

，求A

即，求A

求以及f(A)

判断一个矩阵是否可相似对角化

实对称矩阵必相似于对角矩阵

若特征值都是单实根，则相似于对角矩阵

若特征值是r重根

有对应r个线性无关的特征向量

相似于对角矩阵

少于r个线性无关的特征向量

不相似

实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵

定义

A的元素都是实数

性质

实对称矩阵的特征值和特征向量都是实数和实向量

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交

对任意n阶实对阵矩阵A，存在n阶正交矩阵Q，使得

其中为特征值构成的对角矩阵

实对称矩阵相似对角化的基本步骤

①求矩阵A的特征值

①稳定直接|λE-A|求

②更快的求λ的方法

若r(A)=1,根据定理

一般取n=2，，

这里用特征值替换

解出λ的取值范围

接着，利用进一步解出各个λ

②求A对应于特征值的线性无关的特征向量

③将特征向量正交化、单位化

不同特征值的特征向量本身就是正交的，只需要把相同特征值的正交就行

法一

单位化、斯密特正交化

繁琐，一般不用

法二

天然正交化+单位化

先求出其中一个特征值的特征向量，再把该特征向量横过来列方程（假设n=3）：先求一个特征向量（令一个为自由变量）（a，b，0)，则另一个特征向量为（—b，a，c）

此时，三个特征向量都是正交的

再单位化就行

法三

知二求一+单位化

先求一个特征向量，再把该特征向量的系数横着列方程，求另一个特征向量（任取自由变量）

然后，这两个特征向量的系数横过来拼在一起得到两条约束方程，求剩下一个特征向量

最后，单位化

③令Q=[]，则Q为正交矩阵，且

相似传递

若

可推出

若

推不出

重要结论

A是n阶矩阵，r(A)=1，若tr(A)≠0，则A可对角化

三者等价

(A-aE)(A-bE)=0

r(A-aE)+r(A-bE)=n

所有特征值λ的特征向量η的数量总和为矩阵阶数n

矩阵A可对角化

题型与技巧

矩阵内的参数什么情况下可对角化

①先求特征值

②看特征值是否有重根

无

可对角化

有

将重根的特征值代入|λE-A|求基础解系

若有s=n-r(λE-A)，则可对角化

若k重根没有k个基础解，则不可对角化

其他特殊结论

A是反对称矩阵

若k是A的特征值，则-k也是A的特征值

A的特征向量η，有

若A是实反对称矩阵，它的特征值要么为0，要么为纯虚数

A是实矩阵

的特征值都是非负实数

A是实对称矩阵

若α是n维非0实列向量，则为n阶实对称矩阵

若A可逆则A与A逆合同，A与A星也合同

第六章：二次型

二次型的定义和矩阵表示

定义

矩阵表示

概念

二次型矩阵是个对称矩阵

方法

针对多项式的平方项，依次写入主对角线

针对交叉项，根据下标写入其系数的二分之一，另外二分之一写到矩阵对称的位置

矩阵合同

定义

若存在可逆矩阵C，使得，则称矩阵A与B合同

记作

对应的二次型f(x)与g(y)为合同二次型

充要条件

两个二次型拥有相同的正负惯性指数，或拥有相同的秩及正（负）惯性指数，或有相同的正负特征值个数

等价、合同、相似的区别

正交相似矩阵必为合同矩阵

正交合同矩阵必为相似矩阵

若A与B是实对称矩阵且拥有相同的特征值，则A与B既相似又合同

等价（秩同）

合同（秩同、正负惯性指数相同）

相似（秩同、正负惯性指数相同、特征值相同）

性质

若,则

若,,则

和对称矩阵合同的也是对称矩阵

标准形、规范形

标准形

二次型中只含有平方项，没有交叉项

规范形

在标准形的基础上，平方项的系数只取0、1、-1

惯性定理

将任何一个二次型变换成标准形或者规范形，它的正负惯性系数不变（正负项个数）

化二次型为标准形与规范形

配方法

通过配方依次消除交叉项，只留下平方项

如果结果出现了

需要进行变量替换

令

这里注意的是有多少个变量就需要替换几次，如上述方程的被消掉了，仍需要令

每变量替换一次都需要声明一次，且标出变换矩阵和变换关系

变换关系

需要进行反代，求个逆矩阵

要得到关系式x=Cy

如果变换两次就要写出两次的关系式，求2次逆矩阵

变换矩阵

上述的C就是变换矩阵

正交变换法（每年必考）

步骤

①先写出二次型矩阵A

②求A的特征值和特征向量

③将求得的特征向量进行正交化、单位化，并让其组成矩阵Q

④加个尾巴

令x=Qy，f(x)=

性质

最后的二次型系数为矩阵A的特征值，所以正交变换法无法化为规范形，除非特征值全为-1、0、1

对于二次型中不存在平方项的展开式，要设平方项，最好凑成平方差公式

两个二次型可正交变换的充要条件是两二次型矩阵相似

经过正交变换的两个二次型仍是合同且相似的，具有相同的性质

正定二次型

定义

对于任意矩阵x≠0,都有

充要条件

正惯性指数=n

系数全正

存在可逆矩阵D，使得

特征值全＞0

全部顺序主子式均＞0

最好用

必要条件

主对角线上元素大于0

|A|>0

判定是否为正定二次型

①判断各阶主子式是否全＞0

②判断特征值是否全>0

③配方法化标准型，看正惯性指数是否=n

④化成多个整合式子的平方式相加的形式，让每个平方括号=0，写出对应矩阵，计算该矩阵，若≠0，则正定

一些结论

若A为正定矩阵，则存在可逆矩阵P，PTAP仍为正定矩阵

可用可逆矩阵方程的无非0解证明

若分块矩阵的斜对角元素都是正定的，则整个分块矩阵也是正定的

若A可逆，则ATA也是正定矩阵

若A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则AB可相似对角化

若A和B都实对称的，但AB不一定是实对称的

若A、B都是正定矩阵

A、B乘积可交换

A是实对称矩阵，要使得AT+A正定，A必须可逆

题型与技巧

若二次型中没有平方项

①先进行一次变量替换，构造平方项

②一般设为平方差的两个因子

题目二次型中没有说用正交变换，则直接用配方法

若题目只给了一个系数矩阵且没有说用正交变换法，则还原回二次型用配方法

判断合同

二阶矩阵

直接算行列式，若结果符号相同即可

n阶矩阵（n>2）

法一

利用特征值

法二

利用配方法

问可逆线性变换就是问两个二次型矩阵合同

符号

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω ∂

线性代数（包含考研所有内容）

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