数学（七年下）北师大版_思维导图模板

数学（七年下）

整式的乘除

同底数幂的乘法

法则

文字形式（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）

表达式（·=)

原理（ )

幂的乘方与积的乘方

幂的乘方

法则

文字形式（幂的乘方，底数不变，指数相加）

表达式（=()）

推广（[()]=）

积的乘方

法则

文字形式（积的乘方等于乘方的积）

表达式（（ab）=

推广(··=)

同底数幂的除法

同底数幂除法

法则

文字形式（同底数幂相除，底数不变，指数相减）

表达式

÷=(a≠0,m、n都是正整数，且m﹥n)

零次幂与负次幂

零次幂

=1(a≠0)

负次幂

=1/（a≠0,p是正整数）

推广

÷=(m,n是整数)

较小数的科学计数法

公式（a×）

步骤

确定a（一位整数）

确定n（从左数至第一个非零数前面零的个数）

注意

1≦a﹤10

n是负整数

单位换算

1μm=0.000 001m=m

1nm=0.000 000 001m=m

整式的乘法

单项式乘单项式

法则（单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式）

步骤

系数相乘

相同字母的幂相乘

相同字母与它的指数保留

检验

结果仍是单项式

计算结果含有单项式的所有字母

单项式乘多项式

法则（单项式与多项事相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加）

实质（单项式乘多项式→（乘法分配律）单项式乘单项式）

检验

结果仍是多项式

结果的项数与原多项式的项数相同

平方差公式

公式

文字形式（两数和与这两数差的积，等于它们的平方差）

表达式（(a+b)(a-b)=-）

特征

符号相同项为a

符号相反项为b

注意（a,b也可代表多项式）

完全平方公式

公式

(a+b)=+2ab+

(a-b)=+2ab+

口诀（首平方，尾平方，二倍首尾放中央）

注意

双解性

符号

整式的除法

单项式÷单项式

概念（单项式乘相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式）

步骤

系数相除

同底数幂相除

多项式÷单项式

概念（多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加）

实质（乘法分配律）

相交线与平行线

两条直线的位置关系

位置关系

相交

平行

注意：同一平面内，不相交的两条直线平行

垂直

定义（两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直）

交点叫做垂足，一条直线称作另一条直线的垂线

公理

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

角

对顶角

定义（∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线）

定理

对顶角相等

证明（同角的补角相等）

补角

定义（两角之和180°）

证明（∵∠1+∠2=180°∴∠1与∠2互为补角）

余角

定义（两角之和90°）

证明（∵∠1+∠2=90°∴∠1与∠2互为余角

公理

同角或等角的补角相等

同角或等角的余角相等

探索直线平行的条件

同位角

特点

在第三条直线同旁

两条直线的同侧

形状（“F”型）

平行条件

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称（同位角相等，两直线平行）

证明

∵∠1=∠2

∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）

公理

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）

内错角

特点

在第三条直线两侧

两条直线的两侧

形状（“Z”型）

平行条件

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

简称（内错角相等，两直线平行）

证明

∵∠1=∠2

∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）

同旁内角

特点

在第三条直线同旁

两条直线内部

形状（“C”型）

平行条件

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称（同旁内角互补，两直线平行）

证明

∵∠1+∠2=180°

∴l1∥l2（同旁内角互补相等，两直线平行）

平行线的性质

两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行那么同位角相等

两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行那么内错角相等

两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同旁内角互补

用尺规作图

变量之间的关系

用表格表示的变量关系

变量

概念（在变化过程中，数值发生改变的量）

分类

自变量（自主变化的量）

因变量（随自变量而变化的量）

区分方法

看变化的先后顺序，自变量是发生变化的量，因变量是后发生变化的量

看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量

看因果关系，自变量是起因，因变量是结果

常量（一直没有变化的量）

用关系式表示的变量关系

定义（用关系数字表示自变量和因变量之间的关系的式子叫做关系式）

作用（根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值）

注意（关系式是等式）

用图象表示的变量关系

特点（直观形象）

用法

用水平方向的数轴（横轴）上的点表示自变量

用竖直方向的数轴（横轴）上的点表示因变量

分类

曲线型图象

直线型图象

三角形

认识三角形

定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形）

记作（△ABC）

内角和

180°

证明过程（∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-∠B-∠C）

分类

按角度分

钝角三角形

锐角三角形

直角三角形

名称（Rt△ABC）

性质（直角三角形的两个锐角互余）

证明过程（∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠A+∠B=90°）

按边分

不等边三角形

等腰三角形

等腰三角形（两边相等）

等边三角形（三边相等）

定理

三角形任意两边之和大于第三边

三角形任意两边之差小于第三边

三线五心

中线

定义（三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段）

性质（被中线分开的两个三角形面积相等）

重心（三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心）

角平分线

定义（三角形中，一个内角的角平分线与其对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线）

内心（三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心）

高线

定义（三角形中，过它的一个顶点的垂直于对边的直线）

垂心（三角形的三条高线交于一点，这个点称为三角形的垂心）

外心（三角形的三条边的垂直平分线交于一点）

旁心（三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点）

图形的全等

全等图形的概念（能够完全重合的两个图形）

定理

全等图形的形状大小都相等

全等三角形的对应边相等，对应角相等

探索三角形全等的条件

分类

SAS（三边分别相等的两个三角形全等）

ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）

AAS（两边分别向等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等）

SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）

模型

手拉手模型

等边三角形手拉手（三点共线型）

等边三角形手拉手（一般型）

等腰直角三角形手拉手（一般型）

一线三垂直

半角模型

倍长中线

实质（八字对顶全等）

用尺规作三角形

利用三角形全等测距离

实质（构造全等三角形）

生活中的轴对称

轴对称现象

轴对称图形

定义

轴对称图形（如果一个平面图行沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合）

对称轴（如果一个平面图行沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，直线）

探索轴对称的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中

对应点所连的线段被对称轴垂直平分

对应线段相等

对应角相等

对应线段所在的直线交一点于对称轴上

关于某条直线对称的两个图形全等

简单的轴对称图形

等腰三角形

等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形顶角的角分线、底边上的高线、底边上的高重合（三线合一）

它们所在的直线是等要三角形的对称轴

等要三角形的两个底角相等

垂直平分线

线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴

垂直平分线上的点到线段两端距离相等

角平分线

角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴

角平分线上的点到角两边距离相等

用轴对称进行设计

概率初步

感受可能性

确定事件

必然事件

不可能时间

随机事件

频率的稳定性

抛图钉实验

频率

定义（在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m/m称为事件A发生的频率）

稳定性（在实验次数很大时，试验的频率都会在一个常数附近摆动，即实验结果的频率具有稳定性）

等可能性事件的概率

等可能性事件

每次实验的结果有有限个

每次试验的可能性相同

古典概率模型

公式（P(A)=m/n）

书写格式（任意……，所有可能的结果有x种，所有结果出现的可能性相同，……的结果只有y种：分别是……，所以P(……)=m/n）

几何概率模型

公式（P(A)=A事件可能出现的结果组成的图形的面积/所有可能出现的结果组成的图形面积）

书写格式（任意……，所有可能的结果有x种，所有结果出现的可能性相同，……的结果只有y种：分别是……，所以P(……)=m/n）

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