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导数与微分

作者：精通缝纫机原理

0浏览2023-08-18 15:44:26

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导数与微分

定义及联系

定义及四则运算

导数的定义：回忆导数的三个表达式（可导←→左右导数存在且相等）

导数的四则运算

公式不好打所以回忆向

1、

2、

3、

4、

极限，连续，导数，微分判析

各自内容

极限存在←→左右极限存在且相等

连续←→在x0及其邻域内有定义，且lim（x趋近于x0）f（x）=f（x0）

可导←→左右导数存在且相等

可微←→可导

微分定义和符号代表的含义（回忆）

连续

可导（可微）→连续，连续不能推出可导（微）

公式及计算

求导公式

背

六种函数形式的导数

1、隐函数形式求导

直接求导

微分相比：求出dy和dx，dy/dx（最好用）

公式法:dy/dx=-[fx'(x,y)/fy'(x,y)]

2、复合函数求导

（复合函数）x‘=（复合函数）u‘×（u）x’

3、反函数求导

4、分段函数求导

分断点处用导数定义，连续区间用求导公式

绝对值函数→分段函数

5、利用对数求导

以下情况用

y=u（x）的v（x）次方，一般要保证u（x）＞0

连乘/连除/次方

6、参数方程

dy/dx=dy/dt / dx/dt

高阶导数

归纳法

莱布尼兹公式

3次以上就能用省时省力

泰勒公式法

抽象的余项=n！·An

几何应用

单调性

若f‘（x）＞0（＜0），x∈I，则函数f（x）在I上单增（减）

f（x）在I上单增（减）←→仅有有限个点x使f‘（x）=0

f（x）在I上不增（不减）←→任意x∈（a，b），有f’（x）≤0（≥0）

极值、最值

驻点一阶导=0

第一充分判别定理

注意：充分是前可推后，后不可推前

如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＞0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＜0，则f（x）在x₀处取得极大值。

如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＜0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＞0，则f（x）在x₀处取得极小值。

如果当x∈（x₀-δ，x₀）及x∈（x₀，x₀+δ）时，f'（x）符号相同，则f（x）在x₀处无极值。

第二充分判别定理

设f（x）在x₀处具有二阶导数，且f'（x₀）=0，f''（x₀）≠0，那么当f''（x₀）＜0时，函数f（x）在x₀处取得极大值；当f''（x₀）＞0，函数f（x）在x₀处取得极小值。

最值：比较极大值与断点处最大的为最大值，最小值同理

凹凸性、拐点

凹凸性

在[a,b]上f‘’（x）＞0 凹，反之凸

拐点

凹凸的分界线：即二阶导=0

渐近线

垂直渐近线：找特殊值点（间断点）极限是否趋于无穷

水平：x 趋于正无穷、趋于负无穷时的极限情况

斜：斜渐近线的求法在填空题里有巧法，如能将函数解析式化成f(x) = Ax+b+o(x)形式，那么斜渐近线就是f(x) = Ax+b

曲率

背公式

如果此章只会计算只能学会20%，注意内在逻辑

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导数与微分框架，公式不好打（回忆或者自己补充一下），敬请谅解

考研数学

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