概率论和数理统计是一门随机数学分支,它们是密切联系的同类学科
但是应该指出,概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包
含的不同内容
根据大量同类随机现象的统计规律,对随机现象出现某
一结果的可能性作出一种客观的科学判断,对这种出现
的可能性大小做出数量上的描述;比较这些可能性的大
小、研究它们之间的联系,从而形成一整套数学理论方法
应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性;对通
过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出
严格的理论证明;并判定各种方法应用的条件以及方
法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一
组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断
是正确的,并可以控制发生错误的概率
以上提供的方法在各种具体问题中的应用,它不去
注意这些方法的的理论根据、数学论证
产生于十七世纪
1657年,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯
企图自己解决这一问题,结果写成了《论机会游戏的计算》
一书,这就是最早的概率论著作
近几十年来,随着科技的蓬勃发展,概率论大量
应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。
许多兴起的应用数学,如信息论、对策论、排队论
、控制论等,都是以概率论作为基础的
古典概型
几何概型
和事件
积事件
差事件
包含关系
互不相容
对立事件
加法公式
乘法公式
德摩根定理
全概率公式
贝叶斯公式
充要条件:P(AB)=P(A)P(B)
原假设与备择假设
采伪和拒真
拒绝欲和显著性水平
假设统计量
标准正态分布N(0,1)
t分布t(1,n-1)
卡方分布Z(n-1)
确定原假设和备择假设
构造假设统计量
确定拒绝域
判断
一维随机变量及其分布→分布函数F(x)=P(X≤x) 连续型-概率密度函数f(x)
离散型-分布律
二项分布——二点分部
均匀分布;泊松分布
指数分布;正态分布
其他:几何分布,超几何分布,负二项分布
从分布函数入手,对应一个z值的x的概率之和即z的概率
从分布函数入手,先由函数关系,解x解出z的分布函数,再求导得概率密度函数
以离散型为例E(×)=∑x*P(X=x)
D(X)=(∑P(X=x)*(X一x)^2)/(n-1)
D(X)=E(X^2)-E(X)^2
二项分布-P——P(1-P)
二项分布-nP——nP(1-P)
均匀分布-(b-a)/2-(b-a)^2/1
泊松分布-入一入
指数方面-1/a——1/a^2
概率密度函数
边缘概率
密度
分布律
边缘分布律
离散型边缘
分布率求积
连续型边缘概率函数乘积
条件分布包数
直接定义求解-相互独立性E(X丫)=E(X)E(Y)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D(X+Y)=D(Y)+D(Y)+D(X)=cov(XY)
PXY=cov(X.Y)/(D(X)D(Y))^1/2
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
协方差矩阵
样本均值,样本方差
样本标准差,样本k阶原点矩
样本K阶中心矩,样本变异系数
极差,顺序统计量
样本均值分布
中心极限定理
Xi服从标准正态分布
Xi^2为n↑自由度
X服从标准正态t分布
Y服从卡方分布 (Y/n)^1/2为n↑自由度
Xi^2服从卡方分布 为m↑自由度
Yi^2服从卡方分布 为n↑自由度
五大定理
E(X)=X:求解未知参数
E(X^2)=(X^2):求解未知参数
L(∝)=P(X1)P(X2)…P(Xn)
dLn(L(∝))/d∝=D-Ln(L(∝))
顺序统计量求解未知参数