三重积分求质量，四重积分求重力...
普通对称性：假设 关于 面对称，则
x, z 不动，关于 y 为偶函数
直角坐标系（投影穿线法）：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限
用二重积分方法
均有一阶连续偏导数
三换（积分区域，积分上下限，被积函数）
快速求
对于空间物体，若体密度为 ρ(x,y,z)，Ω 是物体所占的空间区域，则计算该物体对物体外一点 M0(x0,y0,z0) 处的质量为 m 的质点的引力 (Fx ,Fy,Fz) 公式为
概念：分割，近似，求和，去极限（类似于在弧线上定义线密度，所以和一重积分具有相同的性质）
理解为求空间曲线的质量，其中f(x,y)为线密度
物理意义为求质量，也可理解为求该曲面的面积
空间曲线
人为规定微元是否大于0
代入性质（因为只有边界，所以等式可往里面代），二重积分和三重积分没有（因为是区域）
柱坐标
轮换
概念：分割，近似，求和，取极限，用于求解曲面的质量（类似于在曲面上定义面密度，所以和二重积分具有相同的性质）
普通对称性
轮换对称性
注:曲面积分是dS,曲线积分是ds
注意：这里的“一投”不能是多值函数（多值函数投影之后有重合，不能进行判断），比如以下的椭圆往xOy面投，对于xoy平面划线上去就是多值函数，只能使用拆分法，拆成两个部分，分别投影，怎么拆？（例如本例：找到切面的法向量全部垂直于z轴的平面）
将平面方程和曲面积分结合
将曲面积分化为了二重积分
变力沿曲线做功（水平方向力做的功与垂直方向做的功）
概念：第二型曲线积分的被积函数 定义在平面有向曲线 L 上，其物理背景是变力在平面曲线L 上从起点移动到终点所做的总功：
因为第二型曲线积分是一个向量函数和有向曲线的积分，所以计算方法不一致
最根本的是画图看是做正功还是负功，当不容易判断奇偶性的时候，不要忘记回归做功是怎么来的
若微元是dx,则看被积分有x，这个时候就是偶倍奇零；若微元是dy,则看被积分有x，这个时候就是偶零奇倍
若微元是dx,则看被积分有y，这个时候就是偶零奇倍；若微元是dy,则看被积分有y，这个时候就是偶倍奇零
这里说明为什么积分会是dx+dy，在向量中位移ds=dx+dy，既有距离又有方向
格林公式（将边界问题转换为二重积分，即边界->内部）
封闭，连续偏导数，正方向（左手边总是往边界内靠近）
回忆第十五讲，全微分
注意：格林公式转换为二重积分之后就不能直接代入原来的等式，因为这是涉及到内部，而不是边界
这类问题要注意前提（无旋场），其次解决这类问题寻找一个，使得奇点的那个很小的区域等于或者(灵活多变的）
平面曲线的积分与路径无关（无旋场），即位移为0做功为0
条件
简单回顾一下向量场的概念。如果Ω上的每一点M(x，y，z)都对应着一个向量F，则在Ω上就确定了一个向量函数，它表示一个向量场。向量函数通过曲面Σ的通量（比如电场中的电通量，磁场中的磁通量，或者某流体的流量）为
第二型曲面积分的被积函数 定义在光滑的空间有向曲面 上，其物理背景是向量函数 通过曲面 的通量：
由此可以看出，第二型曲面积分是一个向量函数通过某有向曲面的通量（无几何量可言）。
磁通量流入等于流出
对称性：事实上没有，只是看磁通量流入和流出共同作用的效果
分析方法和第二类曲线积分一致，只不过曲面涉及的是三维
例如：设 关于 xOy 面对称，被积函数关于 z 有奇偶性。
分别投影到相应坐标轴上（和第一型曲面积分一样，投影不能有重合的点），如果投影是一条线，则积分为0（投到哪个面，只是说明在这个面的分量是多少）
分解为三个坐标面的有向投影,所以这就是为什么需要把三个拆分开来，观察微元是dxdy还是dydz等，就可直接投到哪个平面，从而就知道计算的是这个平面相应得到的分量
根据高中物理：磁通量等于磁感应强度面积，即BS，因为这里面积不一致，所以根据微元法，即Bds,而我们需要将ds拆成三个不同的坐标面的投影，从而可以得到相应的分量（联系合力与分力）；上述的F可以理解为B，根据第十七讲，曲面对求偏导有相应的切平面，知道切平面之后可直接得到切平面的法向量（而这法向量也就是梯度），从而将法向量单位化，就可得到单位向量，比如，联系第十三讲偏导数求导，可得：，（当上侧为正，取“+”；下侧为正，取“-”），同理对于，有：（左正右负，不是绝对的）；对于,有：（前正后负），（补充：这里为什么是求偏导，这是从曲面到坐标平面的 “映射”，存在一个测度转换的问题，自然也就是需要通过雅可比行列式进行关联）
关于为什么这里偏导数是负号，回到第十七讲，
其实和上述的转换投影法没什么区别，还是依旧求偏导，然后观察微元是dxdy，所以投影到xOy平面，那么要将dydz中的dz转换为dx,不就是(注意看曲面表达式）,同理dzdx也是一样的，而方向是题目规定的
具体证明（投影到xOy面，dS等于多少？回到上面的拆分法）
有了上述的理解而不去看证明之后，观察下题目（盯准要投到dxdy，故我们只需要将dydz,dxdz换成dxdy，z代换z(x,y)，使用对称性）
高斯公式是格林公式的推广，因而也和格林公式一样，都是将边界问题转化为内部问题，所以这个时候我们不能直接代入等式了
封闭曲面，有奇点在其内部，且除奇点外
divF=0(无源场），可换个面积分.(边界无须与原曲面重合)
简而言之，就是空间曲面边界的曲线上的积分，可以转换为内部的积分
还可归结为做功问题
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