（1）是 A 的特征值 ↔ （建立方程求参数或证明行列式）；
不是 A 的特征值 ↔ （矩阵可逆，满秩）
（1）ξ(≠0)是 A 的属于 的特征向量 ↔ ξ 是的非零解
① k 重特征值 λ 至多只有 k 个线性无关的特征向量
② 若，是 A 的属于不同特征值，的特征向量，则，线性无关
（3）若 是 A 的属于同一特征值 λ 的特征向量，则非零向量 仍是 A 的属于特征值 的特征向量。（常考其中一个系数（如）的情形）
（4）若 是 A 的属于不同特征值 的特征向量，则当时， 不是 A 的任何特征值的特征向量。(常考 的情形)
（5）设 是 A 的两个不同的特征值，是对应于的特征向量，则不是对应于的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。
A以及与A有关的常用矩阵的特征值和特征向量总结
设 A，B 是两个 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 ，则称 A 相似于 B，记成 A~B。
（1）A~B；（反身性）
（2）若A~B，则B~A；（对称性）
（3）若A~B，B~C，则A~C；（传递性）
若 A ~ B，则
① |A| = |B|
② r(A) = r(B)
③ tr(A) = tr(B)
④ （或 |λE-A| = |λE-B|）
⑤ r(λE - A) = r(λE - B)
⑥ A，B 的各阶主子式之和分别相等
若 A~B，则 ~， ~ （其中 f(x) 是多项式）
若 A~B，且 A 可逆，则 ~， ~ （其中 f(x) 是多项式）
若 A~B，则 ~
若 A~B，则 ~
若 A~B，C~D，则
（1）是否是实对称矩阵，实对称矩阵必相似于对角矩阵；
（2）特征值是否都是实单根，若是，则相似于对角矩阵；
（3）特征值是 r 重根，若对应有 r 个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵；若对应的线性无关的特征向量少于 r 个(不可能多于 r 个)，则不能相似于对角矩阵。
若存在可逆矩阵 P，使得 ，则 A~B
若A~Λ，Λ~B，则A~Β
若 A~B，则 r(A) = r(B)，|A| = |B|，tr(A) = tr(B)，λ_A = λ_B，r(λE - A) = r(λE - B)，A，B 的各阶主子式之和分别相等
设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 ，其中是对角矩阵，则称 A 可相似对角化，记 A ~ Λ，Λ称是 A 的相似标准型
① n 阶矩阵 A 可相似对角化 ↔ A 有 n 个线性无关的特征向量；
k重特征值入至多只有k个线性无关的特征向量；
② n 阶矩阵 A 可相似对角化 ↔ A 对应于每个 重特征值都有 个线性无关的特征向量
③ n 阶矩阵 A 有 n 个不同特征值 → A可相似对角化
④ n 阶矩阵 A 为实对称矩阵 → A可相似对角化
以上 ①，② 为 A 可相似对角化的充要条件；③，④为 A 可相似对角化的充分条件。
在已知 n 阶矩阵 A 可相似对角化的条件下，其基本步骤如下
（1）求 A 的特征值
（2）求 A 的对应于特征值 的特征向量
（3）令，则
需要注意的是，P 中特征向量 与 中特征值入对应，且 P 没有唯一性
若有可逆矩阵 P，使得，则
若，则 A 为对称矩阵，进一步，若组成 A 的元素都是实数，则 A 为实对称矩阵。
（1）A是实对称矩阵，则A的特征值是实数，特征向量是实向量；
（2）实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交；
（3）对任意的n阶实对称矩阵，存在 n 阶正交矩阵 Q，使得
是 A 的全部特征值。
（1）求 A 的特征值
（2）求 A 的对应于特征值 的特征向量
（3）将 正交化(若需要的话)、单位化为 ；
（4）令，则 Q 为正交矩阵，且
设 线性无关但不正交，令
则 正交
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