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国科大数学分析A1 袁亚湘 B站笔记
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数学分析袁亚湘
0
空集含于任意集合的证明
1
2.1.1封闭
2.1.2无最大元
2.1.3加法公理（4条）
2.1.4乘法公理（4条）
注意逆元需要去掉加法零元
2.1.5分配公理
自然数、整数、有理数（代数域满足3、4、5）
2.1.6有理数无穷多个
序
偏序（三条）
2
序
偏序（三条）
加法乘法与序的公理（各一条）
2.1.7有序集（两条）
2.1.8有理数的序
2.1.9任意两个有理数之间必定存在一个有理数
取一半相加
2.1.10根号2不是有理数（有理数中不存在自己乘自己等于2的数）
本质是解方程x平方=2
代数数的概念（有理系数方程的解）
超越数的概念
戴德金分割
有理数p乘p小于2和大于2两个集合，确定根号2
3（前面少一节课）
2.2.15戴德金定理
2.2.16若A1是戴德金分割，A2也是戴德金分割，则A1+A2也是戴德金分割
2.2.17实数的加法满足加法公理
2.2.18实数满足乘法公理和分配公理
注意乘法的正负情况处理
4
2.3.1邻域的概念
δ邻域概念
2.3.2任意邻域包含一个δ邻域
2.3.3闭区间套定理
2.3.4有限覆盖定理
5
2.3.5极限点的定义：任取区间，必有无穷多个点
2.3.6极限点定义：任意区间内都有一个除x的点
2.3.7不是极限点的性质：存在去心邻域交x为空集
2.3.8有界无限点集必有极限点
2.4实数的不可数性
2.4.1与自然数集合等势，称为可数集
2.4.2无穷多元素的集合X的势大于等于自然数集的势
2.4.3可数集的无穷子集仍为可数集
2.4.4可数个可数集的并集是可数集
6
2.4.5有理数是可数的（用2.4.4证明）
2.4.6实数集不可数
【0，1】不可数即可（区间三分）
实数的势称为连续统的势
2.4.7 card（R）=card（P(N))，其中P（N）为自然数集合的全部子集
作业
7
第三章 数列
3.1.1定义域为自然数的函数称为序列
若值域为实数，则称序列为数列
3.1.2数列极限的定义
3.1.3极限的唯一性
3.1.4数列极限的等价条件lim（xn-α）=0
3.1.5无穷小数列
3.1.6数列去掉前N项，极限不变
8
3.2.1收敛数列必有界
3.2.2极限的四则运算
作业
9
3.2.3极限大于，数列大于
3.2.4数列大于（或大于等于），极限大于等于
3.2.5两边夹定理
例题：n次根号n的极限
3.3.1柯西条件
3.3.2数列收敛的充要条件是数列满足柯西条件
用的闭区间套定理
10
3.3.3单调数列
3.3.4数列的有界
3.3.5维尔斯特拉斯定理：单调有界数列必有极限
重要极限e
作业
11、13
3.3.7子列的定义
3.3.8有界数列必有收敛子列
3.4.1无穷数列
3.4.2一个数列有上界，不存在趋于正无穷的子列
3.4.3有下界，不存在趋于负无穷的子列
3.4.4任意数列必有三种子列之一
3.4.5xn所有子列的极限定义为X（含正负无穷），上极限supX，下极限infX，分别记为lim supX，lim infX
3.4.6数列的上极限等价条件
作业
14
上下极限等价条件说明，上确界和极限可交换
3.4.9极限存在充要条件上下极限相等（正负无穷和α）
3.4.10数列收敛充要条件每个子列都收敛（且极限自动相等）
3.4.11斯杜兹定理（注意证明）
分母严格递增趋于正无穷
15、16
3.5级数初步
3.5.1级数的定义
3.5.2级数收敛的定义，部分和数列收敛，极限为级数的和，否则称为发散
3.5.3级数收敛的柯西准则
3.5.4级数收敛的必要条件，通项极限为0
3.5.5绝对收敛的定义
3.5.6非负级数收敛充要条件是部分和有上界
3.5.7比较定理
作业
17、18
3.5.9柯西根植检验法（证明不错）
3.5.10达朗贝尔比值检验法（证明中an写成连乘的形式有一定的启发性）
3.5.11柯西检验法
an大于等于0
3.5.12级数Σ1/n^p，当p>1收敛，p<1发散
3.5.13级数Σ1/n（logn)^p，当p>1收敛，p<1发散
另外的收敛法则
特殊的级数求和
（证明都很漂亮）
（证明都很漂亮）
Σ1/n！=e利用(1+1/n)^n级数二项式展开
交错级数Σ(-1)^(n-1)1/n=ln2，利用(Σ1/n)-lnn=C（欧拉常数）
欧拉常数C≈0.57721566...
欧拉常数C≈0.57721566...
作业
大于等于
19、20
第四章 函数的极限和连续
4.1.1函数的极限点
(注意x\in X)
(注意x\in X)
4.1.2例子
4.1.3去心邻域
符号函数，f(x)=sqrt(x^2)/x
4.1.4极限点的等价定义
（放到任意邻域）
（放到任意邻域）
x换成a
4.1.5函数的极限点与数列极限的联系
（函数在a点极限b等价于对于任意收敛
于a（且不等于a）的点列xn，f(xn)收敛于b）
（函数在a点极限b等价于对于任意收敛
于a（且不等于a）的点列xn，f(xn)收敛于b）
充分性要用反证法
4.1.6函数极限的唯一性
4.1.8终极常数函数（在趋近于a以后，函数值为常数）
4.1.9有界函数的定义、终极有界函数的定义（只在某个去心邻域成立）
作业
21
4.1.11函数乘积的定义
4.1.12函数乘积的极限
4.1.13函数极限大，则某去心邻域函数值大
4.1.14在某去心邻域中函数值大于等于，极限值大于等于
4.1.16两边夹定理
4.1.17函数值为无穷的极限点的定义
4.1.18自变量趋向无穷的极限点的定义
4.1.19自变量和函数值均为无穷的极限点的定义
4.1.20 两个重要极限
sinx/x在x\to 0的极限为1（画单位圆）
（1+1/x）^x的极限x\to +\infty的极限为e
22
4.2函数极限的存在条件
4.2.1振幅的定义
4.2.2函数极限的柯西准则（利用振幅）
振幅小于epsilon
4.2.3函数的单调性
4.2.4不减函数f，当x趋向于a=supX时，f有极限的充要条件是f有界
4.2.6复合函数的极限
23
4.3函数的无穷小和无穷大
4.3.1无穷小无穷大的定义
4.3.2高阶无穷小
例4.3.3指数函数2^x与4^x趋向正负无穷的情况
4.3.4同阶或高阶无穷小（f=ag,a终极有界函数）
4.3.5互相为大O，则为同阶的
4.3.6等价无穷小（同阶）
4.3.7若fg等价，f-g一定是其中一个的高阶
4.4函数的连续性
4.4.1函数连续的定义
4.4.2函数连续的定义、带X
4.4.3连续的ε-δ定义
24
4.4.5左右极限存在且等于fa
第一第二类间断点
4.4.6连续一定有界
4.4.7保号性f(a)>0推f(x)>0
4.4.8连续的四则运算
4.4.9复合函数连续性（不需要复合函数极限那么麻烦，因为不需要挖那个点）
4.4.10在集合上连续的定义
4.4.11中值定理（零点定理）（闭区间套证明）
4.4.12介值定理
作业
25
4.4.15最大值定理（闭区间上的连续函数存在最大值）（有限覆盖定理+反证法（构造g=1/(a-f)）证明）
可以说明连续函数在闭区间上的值域也是一个闭区间
4.5函数的一致连续
4.5.1一致连续的定义
1/x在(0,1)上非一致连续
sin(1/x)在(0,1)上非一致连续
4.5.2有界闭区间上的连续函数一致连续（有限覆盖定理证明，注意细节）
26
离散的数列也看成是连续函数
4.5.3连续函数是单射的充要条件是严格单调（必要性反证法）
4.5.4严格单调函数有反函数，且单调性相同
4.5.5单调函数的单边极限必存在
4.5.6单调函数只可能有第一类间断点
4.5.7单调函数的间断点最多只有可数个
（一个间断点对应一个有理数）
（一个间断点对应一个有理数）
4.5.8单调函数在区间连续的充要条件是对于fa，fb之间的数y，存在c\in [a,b]，使得fc=y
27
第五章 导数与微分
5.1导数的定义
5.1.1导数的定义（极限存在定义为可导）
5.1.2函数可导必连续
连续不可导的例子
fx=绝对值x(单边导数存在）
fx=xsin1/x, x\neq 0（震荡，导数不存在）
0, x=0
0, x=0
28
5.1.4函数可导的充要条件左右极限均存在且相等
函数可导本质是把一个函数写成一个无穷小的线性函数+高阶无穷小
5.1.5可微的定义
（微分是一个线性函数，导数是一个数）
（微分是一个线性函数，导数是一个数）
可微与可导的关系
5.1.6切线的定义
关于微分的一些几何和代数的理解
作业
29
锯齿函数（可导比一致连续强很多）
5.2导数的性质
5.2.1导数的四则运算
5.2.2线性组合的导数=导数的线性组合
5.2.3多个函数的乘积的导数
5.2.4微分的四则运算（与导数相同）
30
5.2.5复合函数求导
证明中取t=f(x+h)-fx
5.2.6多重复合函数求导
5.2.7反函数的导数
31
双曲函数、反双曲函数（卓里奇P180）
参数曲线的导数f'x=(dy/dt)/(dx/dt)
一点点相对论的思想
Lorentz变换
32
极坐标下的曲线方程（r/r'=tanβ)
5.2.10高阶导数的定义
5.2.11高阶导数的Leibniz法则
复合函数的高阶导数
作业
33
期中考试错题
5.3微分中值定理
5.3.1局部极大值点的定义
严格局部极大值点
5.3.2局部极大值点的左导数若存在，则大于等于零；右导数若存在，则小于等于零
5.3.3费马引理（开区间的极值点导数等于0）
5.3.4罗尔中值定理（闭区间连续，开区间可微，fa=fb，则存在ξ属于开区间，使得f'ξ=0）
5.3.5拉格朗日中值定理（平均速度）
例子
34
5.4泰勒公式
5.4.1皮亚诺余项
5.4.2柯西余项
x0,x之间n+1次可导
5.4.3拉格朗日余项
35
5.4.3证明
柯西余项用拉格朗日中值定理证明
拉格朗日余项用柯西中值定理证明
拉格朗日余项用柯西中值定理证明
麦克劳林公式
sinx的n阶导数
5.4.7泰勒级数（未必收敛）
5.4.8余项收敛到0，则泰勒级数收敛到fx
余项不收敛到0
36
微分的若干应用
1.极值
极值存在的必要条件（二阶导存在，极小值二阶导大于等于0）
极值存在的充分条件（二次可微，一阶导=0，二阶导大于0，fx局部严格极小值）
5.5.3n次可导，前n-1阶导=0，n阶导大于0，则x0局部严格极小值点
2.函数的凸性
5.5.4凸函数的定义
5.5.5凸函数的充要条件
5.5.6可微函数凸充要条件
5.5.7二次可微函数凸充要条件
Young不等式
通常λ写成1/p，p>1
5.5.8可微函数凸充要条件2
例子
任意n，x大于-1
37
5.5.9多元情形的凸函数
例子
Holder不等式
Minkowski不等式（可由Holder不等式推出）
5.5.11洛必达法则（注意无穷情况的证明）
5.5.12渐近线
曲率问题
38
思考为什么讲了导数还要讲微分
6.1不定积分
6.1.1不定积分的定义
6.1.4原函数不唯一，但只差一个常数（导数的逆运算-不定积分）
不定积分和微分作为逆运算、一些常用的不定积分
6.1.5有原函数的函数的线性组合仍有原函数
（函数线性组合的不定积分=函数不定积分的线性组合）
（函数线性组合的不定积分=函数不定积分的线性组合）
6.1.6导函数n阶泰勒的不定积分是原函数的n+1阶泰勒
6.2分部积分与换元法
6.2.1f,g可导、∫fg'存在，则∫f'g存在，且有分部积分公式成立
三个例子
39
复合函数的不定积分
φ在J可导，φ(J)subset I，f的原函数存在，则f(φ)φ'的不定积分在J上存在=Fφ
φ在J可导，φ(J)=I，对任意t，φ'(t)不等于0，若f(φ)φ'的不定积分G存在，则f在I上存在原函数
第一换元法和第二换元法的区别，由于第二换元法需要反函数，所以注意条件不一样
注意φ'不等于0这个条件不能轻易去掉
单调函数只有第一类间断点
导数函数只有第二类间断点
导数函数只有第二类间断点
40
6.3有理函数的积分
6.3.1实系数多项式可写成一次或二次实系数多项式的乘积
待定系数法分解有理真分式
对三种情况进行积分
41
6.3.4奥斯特格拉德斯基公式
42
无穷乘积
6.4无理函数的不定积分
三角函数
R（sinx,cosx）万能代换
R(sin^2x,cos^2x) 换tant
两个线性函数的商的根式（可以是n次根）
43
二次多项式的二次根式
（欧拉变换）
（欧拉变换）
二项式的情形
（切比雪夫变换）
（切比雪夫变换）
椭圆积分
积分函数
44
第七章定积分
7.1定积分的概念
7.1.1闭区间的分划、分划的模
7.1.2黎曼和
7.1.3黎曼可积
7.1.4黎曼可积函数
45
7.1.5黎曼可积函数必有界
7.1.6迪利克雷函数黎曼不可积
7.1.7黎曼可积的充要条件
(注意证明！很长）
(注意证明！很长）
振幅
46
闭区间连续，函数一定黎曼可积（反之不成立）
闭区间有界且最多只有有限个点不连续，函数黎曼可积
闭区间单调函数一定黎曼可积
50（有几集重复）
7.1.11上下积分和（达布和）
7.1.12达布和其实是积分和的确界
7.1.13闭区间有界函数f黎曼可积的充要条件是上下达布和的极限存在且相等
7.1.14闭区间有界函数f黎曼可积的充要条件为
证明的一部分
51
7.1.15黎曼可积只需要存在一个特殊的分划，使得振幅的黎曼和收敛于0
（黎曼可积的充要条件）
（黎曼可积的充要条件）
闭区间上的所有黎曼可积的函数的集合记为R[a,b]
7.1.17零测度集
7.1.19几乎处处（almost everywhere）（a.e.）
7.1.20非负函数的积分为0，则该函数几乎处处为0
7.1.21（勒贝格定理）黎曼可积的充要条件是函数有界且几乎处处连续
（证明）
（证明）
注意两个函数几乎处处相等，仍可能一个可积一个不可积
（黎曼函数和狄利克雷函数）
（黎曼函数和狄利克雷函数）
狄利克雷函数处处不连续
黎曼函数无理点连续，有理点间断
53
定积分的性质
7.2.1可积，则线性组合可积
7.2.2黎曼可积的充要条件分段可积
积分上下限换一下加负号
7.2.3闭区间积分=中间插一个数形成的积分和
7.2.4积分的绝对值小于等于绝对值的积分
7.2.5积分的保序性（几乎处处即可）
7.2.6积分估值不等式
7.2.8积分第一中值定理
（证明）
（证明）
54
阿贝尔变换
7.2.9阿贝尔变换推论
7.2.10可积则变上限函数连续
7.2.11积分第二中值定理
55
积分第一第二中值定理的理解
7.3牛顿莱布尼兹公式
7.3.1微积分基本定理
f连续，变上限函数F可微
（反之不一定成立，例如黎曼函数R(x)作为f）
（反之不一定成立，例如黎曼函数R(x)作为f）
7.3.2原函数存在定理
7.3.3广义原函数，除掉有限个点
7.3.4有界且除了有限个点外连续的函数有原函数，为变上限积分+C
7.3.5牛顿莱布尼兹公式
牛顿莱布尼兹公式联系了定积分（黎曼和的极限）和不定积分（导数的逆运算）
56
7.4定积分的分部积分和变量代换
闭区间可微
7.4.1定积分的分部积分
sin^n x的在[0,\pi/2]的积分（分部积分）
Wallis公式（对\pi进行估计）
可以对阶乘进行估计（很精确）
7.4.3泰勒公式的积分余项
f里面是t
f有n+1阶连续导数
7.4.4定积分的变量替换公式
57
7.5定积分的应用
一、求面积
1.直角坐标
7.5.1椭圆面积
7.5.2抛物线与圆围成部分面积
（对y积分）
（对y积分）
2.参数曲线围成的面积
（顺时针转）
（顺时针转）
封闭曲线即可
3.极坐标曲线围成的面积
7.5.3心形线的面积
二、曲线的弧长
1.直角坐标下
2.参数方程
3.极坐标
三、旋转体的体积
圆盘
球的体积的计算
四、旋转体的表面积
（同弧长有三种）
（同弧长有三种）
圆柱侧面积
58
功与能
牛顿势
没有m，牛顿势
R地球半径
7.6定积分的近似计算
近似计算--矩形公式（取中点）
近似计算--梯形公式（二次可微）
近似计算--辛普森公式（simpson）
误差
59
8.1.1反常积分
无界区间
8.1.2反常积分
无界函数
8.1.3反常积分统一定义
8.1.4性质
8.1.5极限同时收敛或发散
60
8.2反常积分的性质与收敛判别
8.2.1柯西准则
8.2.2绝对收敛推出条件收敛
8.2.3绝对收敛定义
8.2.4收敛充要条件
函数非负
61
绝对收敛不小心写成一致收敛了
8.2.7级数收敛的积分审敛法
证明的关键
几个例子
8.2.8反常积分的比较审敛法
几个例子
8.2.9同阶函数版本的比较审敛法
8.2.10反常积分条件收敛的定义
例子
8.2.11A-D判别法
（证明用到积中+柯西）
（证明用到积中+柯西）
62
8.3具有多个奇异点的反常积分
主值积分（柯西主值）
（反常积分存在，柯西主值一定存在且等于反常积分值）
（反常积分存在，柯西主值一定存在且等于反常积分值）
课程进度问题
63
复习课
讲了八章
1.引言
集合、逻辑、势
2.实数
整数、数域、戴德金分割、实数的连续性、确界原理
3.极限
数列的极限、极限的定义、epsilon-N语言、柯西收敛准则、无穷大的阶、无穷小的阶、级数、绝对收敛（级数的重排）
4.连续函数
函数的极限、连续的定义、epsilon-delta语言、一致连续、左右连续、单调函数（单调函数只能有可数多个间断点、单调函数间断点都是第一类的）
5.导数与微分
导数的定义、微分dy=f'(x)dx、微分的性质、高阶导数、中值定理、泰勒公式（余项估计）、导数的应用（凸性、极值）
6.不定积分
导数（微分）的逆运算、F'=f，F=∫fdx、分部积分、变量代换、有理函数积分、三角函数积分
7.定积分
黎曼和的极限、振幅的黎曼和趋于0（分划趋于0）、定积分的性质（可积一定有界、勒贝格准则）、定积分与连续的关系（零测度集合）、变上限黎曼积分、N-L公式、积分中值定理、分部积分、变量代换、积分的应用、（包括力学和物理学上的应用）、定积分的本质取极限
8.反常积分
定义、性质（定积分该有的都有）、多个奇异点的反常积分（柯西主值）、收敛的判别法
64
一些计算技巧
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模板简介
国科大数学分析A1 袁亚湘老师在B站上面视频的笔记，数学专业使用，非数专业高等数学加深，视频可能第一遍学比较困难，很多带有启发性质，A1部分讲了八章：引言、实数、极限、连续、导数、不定积分、定积分、反常积分。可用来课堂学习、数学竞赛、数学考研，与君共勉。
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