设S为集合，函数f：S×S→S称为S上的二元运算
一元运算：定义：设S为集合，函数 f: S→S 称为S上的一元运算.
定义：设◦为S上的二元运算,
(1) 若对任意x,y∈S 有 x◦y=y◦x, 则称运算在S上满足交换律.
(2) 若对任意x,y,z∈S有 (x◦y)◦z=x◦(y◦z), 则称运算在S上满足结合律.
(3) 若对任意x∈S 有 x◦x=x, 则称运算在S上满足幂等律.
二元运算的性质：
定义：设◦和∗为S上两个不同的二元运算,
(1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运
算满足分配律.
(2) 若◦和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x, 则称◦和∗运算满足
吸收律.
运算表中反应的运算性质：
说明：设为代数系统， ∗是定义在A上的二元运算则运算∗的某些性质可以直
接从运算表中得出：
(1) 运算∗是封闭的，当且仅当运算表中的每个元素都属于A ；
(2) 运算∗满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线对称；
(3) 运算∗满足幂等律，当且仅当运算表中主对角线上的每一个元素与它所对应的
行（列）表头元素相同
定义：设◦为S上的二元运算,
如果存在el (或er)∈S，使得对任意 x∈S 都有 el◦ x = x (或 x ◦ er = x)，则称el (或er)是S中关于◦运算的左单位元(或右单位元). 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
如果存在θl (或θr)∈S，使得对任意 x∈S 都有 θl◦ x = θl (或 x ◦ θr = θr)，则称θl (或θr)是S 中关于◦运算的左零元(或右零元). 若θ ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算◦的零元.
设◦为S上的二元运算, 令e为S中关于运算◦的单位元. 对于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得 yl◦x=e（或x◦yr=e）则称yl(或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x是可逆的.
定理：设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er =e为S上关于◦运算的惟一的单位元
• 当 |S| >= 2，单位元与零元是不同的；
• 当 |S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元.
设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y是 x 的惟一的逆元.
• 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元，记作 x−1
说明：设为代数系统， ∗是定义在A上的二元运算，则运算∗的特异元素可以直接从运算表中得出：
若A中有关于运算∗的零元，则该元素所在的行和列中的所有元素都等于该元素；
若A中有关于运算∗的单位元，则该元素所在的行和列中的所有元素都依次与行（列）表头元素相同；
设A中有关于运算∗的单位元e，元素a与b互逆，当且仅当运算表中a行、 b列对应的元素与a列、 b行对应的元素都是e。
代数系统的阶就是集合S的元素个数，代数系统中的运算都必须对S是封闭的
代数常数：集合S中对于运算规则来说，特殊的元素
平凡子代数：T=S 或 T=母代数系统的代数常数 分别是最大的子代数和最小的子代数
真子代数： T真包含于S时而且不等于代数系统中的代数常数，就是真子代数
同类型的代数系统：三个相同：1.代数系统中的运算个数 ，2.对应的运算元数相同， 3.代数系统常数相同，4，代数系统的运算性质相同
此时V1,V2,V3,就是同类型的代数系统
这个表中V1,和V2是代数运算性质相同，是同种代数系统，而V3不是同种的代数系统
定义：设V1=和V2=是同类型的代数系统， f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称 f 是V1到V2的同态映射，简称同态.
同态分类：
如果f是单射，则称为单同态
如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2
如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2
如果V1 = V2，则称作自同态
同态映射的判别和证明：
说明：设有代数系统V1=和V2=，判别或证明同态映射的方法
• 先判断（或证明）f 是A到B的映射 f: A→B. 如果已知 f: A→B ，则这步判断可以省去
• ∀x, y ∈A, 验证 f(x∘y) = f(x) ∗ f(y)
• 判断同态性质只需判断函数的单射、满射、双射即可
说明：代数系统 和同构的条件：
• X和Y的基数相同
• 运算和∗是同类型的
• 存在双射 f: X→Y，且满足同构关系
同构的理解： 同构的本质，就是给集合中的每个元素都多了层包装。x1包装之后成了g(x1), x2 包装之后成了g(x2)，以此类推。至于式5-1中，等式前是先运算之后再包装；等式右边是两个元素分别包装好之后，再做运算。
同构有自反性：
任何代数系统 , 有X ≅ X。
证： 因为有双射 IX:X→X, 任取x1 ,x2∈X，有 IX(x1 ∘ x2)= x1 ∘ x2=IX(x1) ∘ IX(x2) 所以 X ≅ X。
.同构有对称性：
任何代数系统 , 如果有X ≅ Y 则必有Y ≅ X。
同构有传递性：
任何代数系统 , 如果有X ≅ Y 和 Y ≅ Z，则必有 X ≅ Z 。
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