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八年级上册

第1章三角形的初步认识

认识三角形

定义

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

三边关系

三角形任何两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

注意：
1、三边关系的依据是：两点之间线段是短；
2、围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

三线

角平分线

一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段

注意：
①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．

性质：角平分线上的点到角的两边值间的距离相等

中线

连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段

注意：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

中线求周长差

高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段

注意：
①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．

角与角之间的关系

(1)三角形三个内角的和等于180;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.

稳定性

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.

角度模型

八字形

飞镖模型

3种角平分线模型

双平等腰

折叠模型

共顶点角平分线和高线夹角模型

定义与命题

定义

能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
比如说，上一节课，什么叫做三角形，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

注意：定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现

命题

判断某一件事情的句子叫命题

如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”

正确的命题成为真命题，不正确的命题称为假命题

基本事实

人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实

定理

用推理的方法判断正确的命题叫做定理。

全等三角形

概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

判定定理

边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）

边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

直角三角形全等的判定

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

全等变换

垂直平分线

逆定理

线段外一点到线段的两端点距离相等，那这个点在线段的中垂线上

定义

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线

性质定理

线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等

角平分线性质

角平分线上的任意一点到角两边的距离相等

逆定理：角内的一个点到角两边的距离相等，那这个点在角平分线上

全等常见模型

共边共角模型

手拉手

一线三垂直

证明

一线三等角

双垂直模型

辅助线构造全等

角平分线

识别：角平分线+往角的一边作垂线
辅助线作法：往角的另一边作垂线

角分垂，等腰归

识别：角平分线+垂直于角平分线
辅助线作法：顺势延长垂线，补全成等腰

无垂直，做对称

识别：角平分线+无垂直
辅助线作法：在角平分线两侧取相等线段，连接交点

⻆平分线构造全等本质是利⽤对称（将解分线所在直线看作对称轴）

倍长中线

识别：中点
辅助线作法：延⻓中线AD至E，使AD=DE，连接BE或CE
目的是为了边角转移

识别：中点（常⻅于⼋下的平⾏四边形）
辅助线作法：过B作AC平⾏线与AD延⻓线交于点 E
目的是为了边角转移

第2章特殊三角形

图形的轴对称性质

对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形

将军饮马

方法小结

识别：求线段⻓度和最短，周⻓最⼩

⽅法
1、明确定点、动点
2、做对称，把“定点”关于“动点”所在直线做对称
3、连线找交点

两定一动（同侧）

⽅法：
1、明确定点，动点
2、对称作个定点关于动点所在直线的对称
3、连线找交点

两动一定

注：几个动点就做几次对称

两定两动

等腰三角形

性质定理

等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

性质推论

三线合一：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。（即：在同一个三角形中，等角对等边）

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

等腰中求边长或角度

记得“分类讨论”
必须检验三边关系

等腰三角形分割

常见模型

两圆一线找等腰

两圆：分别以线段两端点为圆⼼，线段⻓为半径画圆

⼀线：线段中垂线

格点中找等腰：有作图误差，需验证，按顺序找，排出共线的情况

等边三角形

逆命题和逆定理

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。

如：定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

直角三角形

定义

有一个角是直角的三角形

性质

直角三角形的两个三角形互余

30°角所对的直角边等于斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

看图

判定

有一个角是直角的三角形是直角三角形

有两个角互余的三角形是直角三角形

一条边的中线等于这条边的一半，这样的三角形是直角三角形

三角形的三条边中，两条边的平方和等于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

常见勾股数

（1）3，4，5；
（2）5，12，13；
（3）6，8，10；
（4）8，15，17；
（5）7，24，25

共斜边问题

易错点

1.直角三角形三条高线的交点在直角顶点上

2.分类讨论：不确定三角形遇到高的题需要分类讨论-钝角/锐角

3.分类讨论：没有明确说明边的时候需要分类讨论-直角边/斜边

斜边上的高

特殊的直角三角形

等腰直角三角形

含30度的直角三角形

子主题1

斜中线定理

旋转模型

第3章一元一次不等式

不等式

不等式的概念

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式

比如像y ≥ p+2，x≠3这样，用不等号“<”、“>”、“≥”、“≤”、“≠”连接而成的数学式子

不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集

不等式基本性质

基本性质1

若a＜b，b＜c，则a＜c，这是不等式的传递性

基本性质2

不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立

基本性质3

不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；
不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立

说明：
①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立

一元一次不等式

概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

只有一个未知数
最高次为一次
必须为整式
形式为不等式

解一元一次不等式的一般步骤

（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）将x项的系数化为1

一元一次不等式组

概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

解集

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集

若无公共部分则无解

解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

解的表示

含参不等式（组）问题

解含参不等式

⽅法：判断不等号是否改变⽅向
变------系数0
不变 ------系数70

已知解集求参数

⽅法：
1、解不等式纲
2、列⽅程引球参数

A的解都是B的解

⽅法：
1、明确谁包含谁
2、务必画数轴
3、检验边界点

有无解问题

整数解问题

与方程结合

不等式应用

第4章图形与坐标

象限

平移变换

将（a，b）进行平移变换
向上移 m 个单位⻓度，为（a，b+m）
向下移 m 个单位⻓度，为（a，b-m）
向左移 m 个单位⻓度，为（a-m，b）
向右移 m个单位⻓度，为（a+m，b）

口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标

对称变换

将（a，b）进行对称变换
关于x轴对称，为（a，-b）
关于y轴对称，为（-a，b）
关于原点轴对称，为（-a，-b）

口诀：
关于谁对称，谁不变；另⼀个变相反数
关于原点对称都变相反数

关于一三象限角平分线对称

（a，b）变为（b，a）

关于二四象限角平分线对称

（a，b）变为（-b，-a）

第5章一次函数

常量与变量

在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。

函数

在某个变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那就说y是x的函数，x叫做自变量。

解析法、列表法、图像法是函数的三种常用的表示方法。

一次函数

概念：像y=kx+b（k，b都是常数且k≠0）这样的式子，叫做一次函数

当b=0时，y=kx（k为常数且k≠0）为正比例函数

定点定线问题

已知直线解析式，含有一个参数——定点问题
已知坐标，横纵坐标含一个相同参数——定线问题

一次函数图像

图像为一条直线

k对函数图象的影响

k>0时，必过一三象限，随着x的增大，直线呈上坡趋势===》y与x的变化趋势相同
k<0时，必过二四象限，随着x的增大，直线呈下坡趋势===》y与x的变化趋势相反

|k|决定图象的倾斜程度
|k|越大，图象越陡

b对函数图象的影响

① b>0时，直线与y轴交于正半轴；
② b=0时，直线过原点；
③ b＜0时，直线与y轴交于负半轴.

一次函数的增减性

k>0时，y随x的增大而增大

k<0时，y随x的增大而减小

涉及题型：
增减性比大小：先根据“k”确定增减性，再比大小
已知增减性求最值：先根据“k”确定增减性，再找最值
已知范围求参数

一次函数变换

平移变换

1.k不变
2.口诀：
上加下减(常数项)
左加右减(自变量)

y=kx+b
向左平移m个单位，y=k（x+m）+b
向右平移m个单位，y=k（x-m）+b
向上平移m个单位，y=kx+b+m
向下平移m个单位，y=kx+b-m

对称变换

口诀：
关于谁对称，谁不变；另⼀个变相反数
关于原点对称都变相反数

y=kx+b
关于x轴对称，y=-kx-b
关于y轴对称，y=-kx+b
关于原点轴对称，y=kx-b

旋转变换

1、根据垂直k相乘等于-1求出新的k值
2、将旋转点代入计算表达式

两直线位置关系对k的影响

两个重要公式

距离公式

中点公式

交点问题

求直线与 x 轴交点坐标，则令 y=0，交点坐标为（−，0）

求直线与 y 轴交点坐标，则令 x=0，交点坐标为（0，b）

求两直线的交点坐标：联立解析式

与方程结合

与几何结合

直线与x轴夹角为30°时，|k|=

直线与x轴的夹角为45°时，|k|=1

直线与x轴的夹角为60°时，|k|=

快速求k的公式=

综合问题

定线问题

定点问题

无论k怎么变都不会影响一次函数的顶点------与k无关问题

面积问题

水平宽铅垂高

求三角形ABC的面积

割补法

不提倡这个方法

矩形减去三个三角形

水平宽铅垂高·

常见的辅助线：过b点做BD平行于y轴，把三角形ABC分割成两个三角形

解题思路

辅助线2:【原理】坐标轴问题往x/y轴画平行线

辅助线3

辅助线4

现阶段等积法，知道角度和等积法就行

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