定义：
若Aα=λα（α≠0），则称λ为A的一个特征值，α为A对应于λ的一个特征向量.
设Aα=λα（α≠0），则A(kα)=k(Aα)=k(λα)=λ(kα).
设,则.
(1)求|λI-A|=0的根：
(2)求：,
则A对应于的特征向量为：(不全为零).
定义：设A与B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使
，则称A与B相似，记为A~B.
（1）反身性 A~A
（2）对称性 A~BB~A;
（3）传递性 A~B且B~CA~C.
相似矩阵有相同的特征值.
设矩阵A~=则是A的全部特征值
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线
性无关的特征向量.
矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关
1.如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似
2.设是矩阵A的不同特征值，
是的线性无关特征向量，则
线性无关.
3.n阶矩阵A与对角矩阵相似若是A的重特征值，
则的基础解系由个解向量组成
.
定义：设
(α，β)=
称为α与β的内积.
1.（α，β）=（β，α）
2.（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ），（kα，β）=k（α，β）
3.（α，α）≥0，当且仅当α=0时等号成立
4.（α，lβ）=l（α，β），l∈R
5.（α，β+γ）=（α，β）+（α，γ）
定义：||α||=
1.非负性 ||α||≥0
2.齐次性 ||kα||=|k|||α||
3.三角不等式 ||α+β||≤||α||+||β||
单位向量：||α||=1：α为单位向量
夹角 <α，β>=：α与β的夹角
正交向量组
α与β正交：（α，β）=0
为正交向量组：两两正交且不含零向量.
定理：正交向量组线性无关，线性无关向量组未必是正交向量组
1.
2.
定义：若实矩阵A满足，则称A为正交矩阵
1.
2.|A|=±1，
3.正交矩阵的乘积也是正交矩阵
4.A为正交矩阵A的行（列）向量组
是求欧氏空间正交基的一种方法：
从欧氏空间任意线性无关的向量组
α1，α2，……，αm出发，
求得正交向量组
β1，β2，……，βm，
使由 α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，
再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组
定义：设(C为复数集).称为A的共轭矩阵
性质：1.
2.
3.
1.实对称矩阵的特征值都是实数 .
2.实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 .
定理：对任一实对称矩阵A，都存在正交矩阵C，使得
其中，是矩阵A的特征值.
设,则由特征值与特征向量的性质可知：
故是n维向量空间的子空间.称为矩阵A的特征子空间.
设Aα=λα(α≠0).则(λI-A)α=0.
α是(λI-A)X=0的非零解.
单位化：设α≠0，另，则
柯西-施瓦茨不等式：|(α，β)|≤||α||||β||，当且仅当α与β线性相关时等号成立
推论：实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 .
推论：设A是实对称矩阵，λ是A的k重特征值，
则λ所对应的线性无关特征向量的个数恰为k.
求正交矩阵C与对角矩阵的步骤：
1.求f(λ)=|λI-A|的根:
2.求的基础解系:
3.将正交化后再单位化得:4.令，则C为正交矩阵且
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