极限_思维导图模板

极限

极限的定义

数列极限的定义

对于数列{}，常数a，若对ε>0，正整数N，有|-a|<ε，则称a为{}的极限，或{}收敛于a

当x→∞时，f(x)的极限

若存在常数A，ε>0，正数X，当|x|>X时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→∞的极限

当x→时（为有限值），f(x)的极限

若存在常数A，ε>0，δ>0，当0<|x-|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→的极限

当x→时（为有限值），f(x)的左右极限

右极限

若存在常数A，ε>0，δ>0，当0或

左极限

若存在常数A，ε>0，δ>0，当0<-x<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→时的左极限
或

数列极限的基本性质

极限的唯一性

如果{}收敛，那么它的极限唯一

收敛数列的有界性

如果{}收敛，那么{}一定有界

收敛数列的保号性

如果，且a>0（或a<0），那么正整数N，当n>N时，都有<0（或<0）

推论

如果，，且a>b，那么正整数N，当n>N时，>

如果正整数N，当n>N时，≥0（或≤0），，那么a≥0（a≤0）

收敛数列与其子数列间的关系

如果{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a

函数极限的基本性质

极限的唯一性

如果，，那么A=B

函数极限的局部有界性

如果，那么δ>0，f(x)在{x|0<|x-|<δ}内有界

函数极限的局部保号性

如果，而且A>0（或A<0），那么常数δ>0，当0<|x-|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0）
如果在的某空心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），而且，那么A≥0（或A≤0）

函数极限与数列极限的关系

如果存在，{}为f(x)定义域内任一收敛于的数列，且满足≠，那么{f()}
必收敛，且

符合函数的极限

设y=f(u)在点u=a处连续，有，则

无穷小量与无穷大量

定义

无穷小量

如果（x→或x→∞），那么称函数f(x)为（当x→或x→∞时的）无穷小量

无穷大量

如果（x→或x→∞），那么称函数f(x)为（当x→或x→∞时的）无穷大量

性质

性质1

⇔A+α(x)，其中α(x)是（x→或x→∞）无穷小量

性质2

有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量

有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量

无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量

无穷小量的比较

设在自变量x的同一变化过程中（如x→或x→∞），α(x)，β(x)都是无穷小

如果，则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记作α(x)=o(β(x))

如果，则称α(x)是β(x)的低阶无穷小

如果（c≠0），则称α(x)是β(x)的同阶无穷小

如果，则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记作α(x)~β(x)

如果（c≠0），则称α(x)是β(x)的k阶无穷小

等价无穷小替换定理

设在自变量x的同一变化过程中，，，，都是无穷小，而且，，
如果，则

常用等价无穷小

当x→0时

sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ~ ~ x

1-cos x ~ x²

-1 ~ x

-1 ~ mx

极限的四则运算

如果，存在，且，，则有

（B≠0）

（A>0）

极限存在的判别方法

单调有界定律

单调增加（减小）且有上界（下界）的数列{}必有极限

夹迫定律

如果数列{}，{}，{}满足条件：<<(n=1,2,...)，，，
那么数列{}的极限存在，且

极限

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