对于数列{},常数a,若对ε>0,正整数N,有|-a|<ε,则称a为{}的极限,或{}收敛于a
若存在常数A,ε>0,正数X,当|x|>X时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→∞的极限
若存在常数A,ε>0,δ>0,当0<|x-|<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→的极限
若存在常数A,ε>0,δ>0,当0或
若存在常数A,ε>0,δ>0,当0<-x<δ时,有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→时的左极限
或
如果{}收敛,那么它的极限唯一
如果{}收敛,那么{}一定有界
如果,且a>0(或a<0),那么正整数N,当n>N时,都有<0(或<0)
如果,,且a>b,那么正整数N,当n>N时,>
如果正整数N,当n>N时,≥0(或≤0),,那么a≥0(a≤0)
如果{}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a
如果,,那么A=B
如果,那么δ>0,f(x)在{x|0<|x-|<δ}内有界
如果,而且A>0(或A<0),那么常数δ>0,当0<|x-|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0)
如果在的某空心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且,那么A≥0(或A≤0)
如果存在,{}为f(x)定义域内任一收敛于的数列,且满足≠,那么{f()}
必收敛,且
设y=f(u)在点u=a处连续,有,则
如果(x→或x→∞),那么称函数f(x)为(当x→或x→∞时的)无穷小量
如果(x→或x→∞),那么称函数f(x)为(当x→或x→∞时的)无穷大量
⇔A+α(x),其中α(x)是(x→或x→∞)无穷小量
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量
有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量
无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量
设在自变量x的同一变化过程中(如x→或x→∞),α(x),β(x)都是无穷小
如果,则称α(x)是β(x)的高阶无穷小,记作α(x)=o(β(x))
如果,则称α(x)是β(x)的低阶无穷小
如果(c≠0),则称α(x)是β(x)的同阶无穷小
如果,则称α(x)是β(x)的等阶无穷小,记作α(x)~β(x)
如果(c≠0),则称α(x)是β(x)的k阶无穷小
设在自变量x的同一变化过程中,,,,都是无穷小,而且,,
如果,则
sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ~ ~ x
1-cos x ~ x²
-1 ~ x
-1 ~ mx
(B≠0)
(A>0)
单调增加(减小)且有上界(下界)的数列{}必有极限
如果数列{},{},{}满足条件:<<(n=1,2,...),,,
那么数列{}的极限存在,且