证明重极限不存在的有效方法:
①点P沿两种不同路径趋向于点P’,二元函数趋于不同常数;
②点P沿某一路径趋于P',二元函数的极限不存在。
①沿不同直线趋向于点P'时极限不相等证明重极限不存在;
②沿某一直线趋向于点P'时极限不存在证明重极限不存在;
若函数在开区域内有定义,P'点的重极限=P'点的函数值;则称函数在点P'处连续。
③证明二元函数在P’点处连续;
①连续函数的和、差、积、商(分母不为零)均是连续函数,连续函数的复合函数仍为连续函数;
②最大最小值定理:在有界闭区域上连续的函数,在该区域上有最大值和最小值;
③介值定理:在有界闭区域上连续的函数,可以取到该区域上的最小值与最大值之间的任何值;
④一切多元初等函数在其定义区域内处处连续。
偏导数的几何意义
①多元函数与一元函数的复合;
②多元函数与多元函数的复合;
①由一个方程式确定的隐函数(一元函数、二元函数)求导法
②由方程组所确定的隐函数(一元函数、二元函数)求导法
高阶偏导数的定义
若函数的两个混合偏导数在P'点都连续,则点P'处的两个混合偏导数相等。
①多元函数取得极值的必要条件:
若多元函数在P'的一阶偏导数存在,且在点P'处取得极值,则在该点的X、Y一阶偏导数值皆等于0。
②凡是能使多元函数X、Y一阶偏导数同时等于0的点称为函数的驻点;
(具有一阶偏导数的函数的极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。)
③多元函数取得极值的充分条件:
若多元函数有连续的二阶偏导数,且一阶偏导数都等于0;再根据二阶偏导数值的关系判断是否有极值()。
①求原点到曲面的最短距离;
②求函数在定义域上的最大值和最小值;
①求出多元函数在定义域内可能取得极值点(驻点和一阶偏导不存在的点)的函数值;
②求出多元函数在定义域的边界上的最大、最小值;
③将上面求得的定义域内可能取得极值点上的函数值与定义域的边界上的最值进行比较。
方向导数、梯度及几何应用(仅数学一)