严格的ε -N定义
发散(不收敛)的定义
数列极限的等价定义
压缩映像原理
无穷小量
无穷大量
唯一性, 有界性, 保序性, 保号性, 归并性, 不等式性质等
四则运算
数列收敛的充要条件是所有子列均收敛于同一极限(可以是无穷)
单调有界数列必存在极限
函数在一点的极限
函数在无穷远处的极限
无穷小和无穷大
唯一性, 局部有界性, 局部保号性, 局部保序性
四则运算, 复合运算
类比数列的夹逼定理
常用形式
常用形式
高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小
点连续(间断、间断点)
单侧连续(左连续、右连续)
区间连续(区间内每一点都连续)
可去间断点:该点函数左、右极限存在且相等但该点函数无定义
跳跃间断点:该点函数左、右极限存在但不相等
无穷间断点:该点函数左(右)极限为无穷
震荡间断点:x趋近该点时函数值在两个不同数之间不断变动无限次,无极限
一切初等函数在其定义域上均连续
四则运算(同函数极限)
复合运算
反函数连续性定理
有界性定理
最值定理
零点存在性定理
介值性定理
称此极限值为函数y=f(x)在点处的导数(微商)
单侧导数: 左导数、右导数
可导与连续的关系: 可导必连续
幂指函数或函数表达式为若干个因子乘积时使用
链式法则
隐函数求导
参数方程求导
极坐标方程求导
若在I上连续, 则称f(x)在I上n阶连续可导
高阶导数存在则低阶导数一定存在,且具有一定的连续性
隐函数和参数方程表示函数的高阶导数
可微与可导互为充要条件
四则运算(同导数)
微分的几何意义
近似计算
无擦汗估计
驻点:导数等于零的点(横坐标)
推论:若函数在某区间上连续可导,且在该区间上导函数不为零,则该函数在该区间上为单射,且必存在反函数
常用表达方式
设f(x)∈D(a,b),则(a,b)内的点要么是f'(x)的连续点,要么是f'(x)的第二类间断点
五个基本公式
五个基本公式
求函数极限
确定函数无穷小的阶数
用于近似计算和函数值估计
计算函数在一点的高阶导数
研究函数形态和高阶导数的介值性问题
函数的单调性、极值与最值、凸性与拐点
(1)单调区间与极值点:求f'(x)
(2)凸性区间与拐点:求f''(x)
(3)渐近线
(4)分区间的依据
(5)图上标注:极值点坐标、拐点坐标、渐近线方程
曲线弧长概念及其微分
曲率和曲率公式