若标准形中，系数的取值范围为{1,-1,0}，即形如 的二次型称为规范形。在不考虑 顺序时，唯一。
若二次型中只含有平方项，没有交叉项（即所有交叉项的系数全为零），即形如
的二次型称为标准形，一般不唯一。
任何二次型 均可通过配方法（作可逆线性变换 ）化成标准形及规范形。用矩阵语言表述：任何实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C，使得。
任何二次型 也可以通过正交变换 化成标准形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 A，一定存在正交矩阵Q，使得。
将二次型化成标准形或规范形后，其正项个数p，负项个数q都是不变的，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数。
两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数，或有相同的秩及正（或负）惯性指数，或有相同的正、负特征值个数。
（1）写出二次型的标准型或规范型；正的特征值个数等于规范型中“1”的个数，负的特征值个数等于规范型中“-1”的个数。
（2）求出二次型矩阵A的特征值，其正的特征值个数为正惯性指数p，负的特征值个数为负惯性指数q。
A的正特征值个数 = 正惯性指数p = 规范型中“1”的个数
A的负特征值个数 = 负惯性指数q = 规范型中“-1”的个数
（1）写出二次型矩阵A，求出A的秩，则；
（2）写出二次型矩阵的标准型或规范型，则
求二次型的秩；
求正负惯性指数；
求二次型的零点
写出二次型对应的矩阵；
计算特征值及特征向量；
特征向量正交单位化，得到两两正交的单位向量；
① 特征值之和等于主对角线之和
② 二次型矩阵对应行列式等于特征值之积
③ 不用特征值对应特征向量内积为零
求二次型的秩；
求正负惯性指数；
求二次型的零点；
求最值
设A，B为 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 C，使得 ，则称 A 与 B 合同，记作 ，此时称其对应的二次型 与 为合同二次型。
（1）（反身性）；
（2）若，则（对称性）；
（3）若，且，则（传递性）。
若，则有；
若，则 具有相同的符号（同正、同负或同时为0）；
可逆线性变换不会改变二次型的秩；
对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵
若A、B均是实对称矩阵，则A与B合同
↔ 存在可逆矩阵C，使得；
↔ 二次型与具有相同的正负惯性指数；
↔ A与B的正特征值个数与负特征值个数相同
若A、B均是实对称矩阵且相似 → A与B合同
A与B合同 → A与B等价 → A与B秩相等；
A与B合同且可逆 → 与同号；
A与B合同且A实对称 → B必是实对称矩阵
n元二次型正定 ↔ 对任意x≠0，有（定义）
↔ f 的正惯性指数 p=n
↔ 存在可逆矩阵D，使
↔
↔ A 的特征值
↔ A 的全部顺序主子式均大于0
①
②
③
① 若A正定 → 正定
② 若A、B正定 → A+B 正定
③ 若A正定 → 存在正定矩阵B，使得为正整数
① 判别对应矩阵A的各阶顺序主子式是否大于零；
② 判别对应矩阵A的特征值是否全部大于零；
③ 利用配方法化为标准形，判别 f 的正惯性指数 p 是否等于 n（未知量个数）；
④ 用定义，验证是否对任意的。
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