二次型的定义:含个变量的二次齐次函数
二次型的矩阵:中的对称阵
标准形:只含平方项的二次型
合同:有可逆阵使得,则A与B合同
正交变换法
配方法
初等变换法(书本未介绍)
规范形:系数为1的在前,-1其次,0最后的二次型。
正(负)惯性指数:规范形中的正(负)系数的个数
惯性定理:二次型能由可逆线性变换化为规范形,且惯性指数不变
实对称阵合同的充要条件:二次型有相同的秩和正惯性指数。(即有相同的正、负惯性指数,即有相同的特征值符号)
有定性:正定、负定、半正定、半负定、不定。
定理一:二次型正定的充要条件:标准形中n个系数全为正。(即正惯性指数为n,即对称阵特征值全为正。)
定理二:若A,B为正定矩阵,则,,,,也为正定矩阵。
正定的充要条件:的各阶顺序主子式全为正。即:
负定的充要条件:奇数阶的为负,偶数阶的为正。即: