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一次函数与反比例函数

作者：57岁魔法少女

0浏览2024-02-17 08:21:52

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函数

一次函数

定义：一般地，解析式形如𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘，𝑏是常数，且𝑘≠0）的函数叫做一次函数。

b=0时是正比例函数（𝑦=𝑘𝑥 ）

x=0时是常值函数（y=c）（不是一次函数！）

解析式的求法：待定系数法

已知两点
的坐标求函数解析式：
第一步：设一次函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)
第二步：将两点坐标代入解析式中，通过解二元一次方程组求出𝑘和𝑏的值，求出函数解析式。

图像

一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘，𝑏是常数，且𝑘≠0）的图像是一条直线，𝑦=𝑘𝑥+𝑏是这条直线的表达式

截距

定义

一条直线与𝑦 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在𝑦 轴上的截距，简称直线的截距。

𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘，𝑏是常数，且𝑘≠0）的截距是𝑏。

注意点

截距可整可零可为负

要注意b的符号，带符号一起当截距

画法

描出图像上的两个点，过这两点作一条直线

如果允许的话，选点可以以y=0取一个点，x=0取一个点，比较好画

平移

一般地，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑏≠0）的图像可由正比例函数𝑦=𝑘𝑥平移得到

当b＞0时，向上平移b个单位

当b＜0时，向下平移∣b∣个单位

如果≠，那么直线𝑦=𝑘𝑥+与𝑦=𝑘𝑥+平行

如果直线𝑦=𝑥+与直线𝑦=𝑥+平行，那么≠，=

交点

x轴：（-，0）

是一元一次方程𝑘𝑥+𝑏=0的根

y轴：（0，b）

一元一次不等式

由一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的函数值y＞0（或y＜0），就得到关于𝑥的一元一次不等式𝑘𝑥+𝑏＞0（或＜0）

在一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图像上且位于x轴上方（或下方）的所有点，它们横坐标的取值范围就是不等式𝑘𝑥+𝑏＞0（或＜0）的解集

性质

大小

当k＞0时，函数值y随自变量x的值增大而增大

当k＜0时，函数值y随自变量x的值增大而减小

位置

当k＞0，且b＞0时，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过第一、二、三象限

当k＞0，且b＜0时，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过第一、三、四象限

当k＜0，且b＞0时，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过第一、二、四象限

当k＜0，且b＜0时，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过第二、三、四象限

可以反过来叙述哦

应用

分配方案问题

最大利润问题

行程问题

根据图像回答问题，一般情况下x轴代表时间，y轴代表路程，求得斜率k代表速度。

几何问题

求直线与坐标轴交点所形成的直角三角形的面积

求坐标轴上顶点在直线上的某三角形的面积

求某点的坐标

……

其他问题

反比例函数：𝑦=

概念

两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，则说这两个变量𝑥、𝑦成反比例

反比例函数解析式：𝑥𝑦=𝑘，或表示为，其中𝑘是不等于0的常数，叫做比例系数．

图像

反比例函数(𝑘≠0)的图像是双曲线

性质

当𝑘>0时，反比例函数图像的两支分别在第一、三象限；
在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐减小．

当𝑘<0时，反比例函数图像的两支分别在第二、四象限；
在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐增大．

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模板简介

本来是数学作业，后来想想发上来算了（内容定义什么的基本都是书上抄的，是预习作业，可能会有小问题，也没有过多拓展一次函数部分是自己写的，反比例函数（因为已经学过了所以）是复制别的导图的

初中数学一次函数正比例函数反比例函数八年级

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