线性代数第三章线性方程组_思维导图模板

线性方程组

向量组的线性相关性

线性相关性的概念

定义3.6 设有n维向量组 ,若存在一组不全为0的数
,使得
= 0
则称向量组线性相关
反之，若只有当时， =0 才成立，则称向量组α_1,α_2,…,α_m 线性无关

向量组  线性相关等价于齐次方程组
有非零解；|A|=0
向量组  线性无关等价于齐次线性方程组
  仅有零解 . |A|  0

单独一个非零向量一定线性无关，单独一个零向量是线性相关的；
要使两个向量构成的向量组线性相关，当且仅当它们对应的分量成比例，否则，一定是线性无关的；
n维基本单位向量组是线性无关的。

定理3.4 向量组 (m ≧ 2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

推论3.3 向量组 (m ≧ 2) 线性无关的充要条件是其中每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示

推论3.4 含有零向量的向量组必然线性相关

定理3.5 设向量组线性无关，而线性相关，则β可由向量组线性表示，且表示式唯一

线性相关性的判定

定理3.6 若向量组线性相关，则向量组
也线性相关 (部分相关，整体相关)

推论3.5 线性无关向量组的任一部分向量组一定线性无关(整体无关，部分无关)

定理3.7 设有两个向量组
(j=1,2,…,n)
(j=1,2,…,n)
其中，是自然数1,2,…,m的某个确定的排列，则向量组与向量组有相同的线性相关性

定理3.8 设有两个向量组
(j=1,2,…,n)
(j=1,2,…,n)
即是由添加一个分量得到的。若向量组线性无关 , 则向量组也线性无关

推论3.6 r维向量组的每个向量添加m-r个分量，成为m维向量组，记为。若向量组线性无关，则向量组也线性无关

向量组构成矩阵A=(),
向量组线性相关的充要条件是齐次方程组

即 Ax=0 有非零解

定理3.9 设向量组构成的矩阵记为A=(), 则有
(1)向量组线性相关的充要条件是R(A)(2)向量组线性无关的充要条件是R(A)=m , 即A的秩等于向量的个数m ( |A| 0)

推论3.7 n个n维(向量个数等于向量维数)向量组线性相关的充要条件是该向量构成的方阵A的行列式|A|=0；线性无关的充要条件是它们所构成的方阵A的行列式|A| 0

推论3.8 m个n维向量组成的向量组，当m>n时一定线性相关。即向量组中向量的个数大于向量的维数时，向量组一定是线性相关的

向量组的秩

极大线性无关组与向量组的秩

定义3.7 设向量组T的一个部分组满足：
(1) 线性无关；
(2) T中的每个向量α都能由线性表示，也就是说，将向量组T中的任意一个向量α添加到部分组中，得到的向量组线性相关。
则称是向量组T的一个极大线性无关组或最大线性无关组，简称极大无关组或最大无关组

仅含零向量的向量组(称为零向量组)无极大无关组；
线性无关的向量组，其本身就是该向量组的极大无关组

定理3.10 向量组与它的任意一个极大无关组等价

推论3.9 一个向量组的不同的极大无关组是等价的

定理3.11 设有两个向量组和 , 若向量组线性无关，并且向量组可由向量组线性表示，则向量组的向量个数必不大于向量组的向量个数，即r ≦ s.

推论3.10 一个向量组的所有极大无关组所含向量的个数一定相等

推论3.11 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数一定相等

推论3.12 设向量组的秩为 , 向量组的秩为 , 且向量组可由向量组线性表示，则 ≦

定义3.8 一个向量组的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记作R()

定理3.12 等价的向量组有相等的秩
该定理的逆不成立，即两个向量组的秩相同，它们不一定等价

向量组的秩与矩阵秩的关系

定义3.9 m×n矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩

定理3.13 设矩阵A= ，则R(A)=r的充要条件是A的列(行)秩=r

矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩

r=2<4 , 线性相关

定理3.14 矩阵A经过初等行变换(只用行变换)化为矩阵B，则B的列向量组与A的对应的列向量组有相同的线性组合关系

矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组之间的线性关系表达式

R(AB) ≦ min{ R(A) , R(B) }

线性方程组解的结构

齐次方程组的结构

性质3.1 若和都是Ax=0的解，则也是Ax=0 的解

性质3.2 若向量ξ是Ax=0的解，k为实数，则kξ也是Ax=0的解

定义3.14 若是齐次线性方程组的一组解向量，且满足条件：
(1) 线性无关；
(2)方程组的每个解都可由线性表示。
则称为齐次线性方程组的一个基础解系 (有n-r个基础解系)(可看成解向量的极大线性无关组)

定理3.15 对n元齐次线性方程组，如果它的系数矩阵A的秩r小于n，那么它一定存在基础解系，并且其任意一个基础解系都由n-r个解向量组成。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的通解(全部解)为
x =
其中，为任意常数

非齐次线性方程组解的结构

性质3.3 若 , 是Ax=b 的解，则是其导出组Ax=0 的解

性质3.4 若ξ为Ax=0的解，η为Ax=b的解，则ξ+η为Ax=b的解

性质3.5 如果是非齐次线性方程组Ax=b的一个解向量(称为特解)，那么Ax=b 的任一解向量η都可表示为η=ξ+ ，其中ξ是导出组Ax=0 的解向量

定理3.16 设有n个变量的非齐次线性方程组Ax=b，如果R(A)=R()=r且是对应的导出组Ax=0的基础解系，是Ax=b的一个解，则Ax=b的通解为
x=
其中，为任意常数

线性方程组有解的条件

定理3.1 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵的秩相等，即R(A)=R() 。
并且当且仅当R(A)=R()=r=n 时，线性方程组有唯一解；
当R(A)=R()=r

自由未知量个数 = 未知量总数 - 系数矩阵的秩

线性方程组无解的充要条件为R(A) R()，即R(A)

从折线判断是否有解：在虚线处是平的，有解；在虚线处是折的，无解

推论3.1 齐次线性方程组仅有零解的充要条件是R(A)=r=n；
有非零解的充要条件是R(A)=r

齐次线性方程组一定有解，至少有零解：
若R(A)=r=n,则方程组只有零解；
若R(A)=r

当m=n时(方程个数=未知量个数)，齐次线性方程组的系数行列式存在，
齐次线性方程组仅有零解的充要条件是|A| 0，
有非零解的充要条件是|A|=0

推论3.2 若齐次线性方程组的方程个数(m)小于未知量个数(n)，则齐次线性方程组一定有非零解

定理3.2 矩阵方程AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A|B)

定理3.3 矩阵 = O 只有零解的充要条件是R(A)=n

R(AB) ≦ min{R(A),R(B)}

向量组及其线性组合

向量的概念及其线性运算

向量的概念

定义3.1 由n个数形成的一个有序数组()或称为n维向量，其中 (i=1,2,3,…,n)称为向量的第i个分量或第i个坐标。
向量中分量的个数称为向量的维数
常用带或不带下标的小写希腊字母α，β，γ等表示向量，而用带有下标的小写拉丁字母 , 等表示向量的分量。

行向量：以行形式表示的向量α =() 为行向量
列向量：以列形式表示的向量α=

实向量：分量全为实数的向量
复向量：分量全为复数的向量
零向量：分量全为0的向量，记作0，即0=
负向量：每个向量都取相反数所组成的向量
解向量：一个n元线性方程组的一组解就是一个n维向量α=(),因此方程组的解也称为解向量

实际上，n维行向量α=()可看作是1×n阶矩阵，称为行矩阵，n维列向量α= 可看作是n×1阶矩阵，称为列矩阵，这样n维列向量也可以表示为n维行向量的转置，即α==
若无特别说明，所说的向量一般指列向量

向量的线性运算

向量相等：对于同维向量α=, β= ,当分量对应相等时，即
(i=1,2,…,n)
时，称这两个向量相等，记作α=β

定义3.2(向量的加法) 设n维向量(同维)α= , β=,
向量α与β的和(或者α与β的加法)记作α+β，且
α+β=
利用负向量的概念可定义向量的减法，即
α-β=

定义3.3(数与向量的乘法) 设n维向量α= ，k为任意常数，则数k与向量α的乘积称为数乘向量，简称为数乘，记作kα，且
kα =
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算

第1个0是数字0，第二个0是0向量

运算规律

向量组的线性组合

向量组：若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合

定义3.4 设有n维向量组 ,如果存在一组数 ,使得
β =
则称向量β是向量组的线性组合，或称向量β可由向量组线性表示。
其中 (i=1,2,3,…,m)称为线性组合系数

零向量可由任一同维向量组线性表示

向量组中的每个向量(i=1,2,…,m)可以由该向量组线性表示

n维向量组
称为n维基本向量组，则任一个n维向量α= 都一定可由同维的基本单位向量线性表示

快速进入方程

判断有无解

定义3.5 设两个向量组为
；
若向量组中的每个向量都可由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示。
若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价

向量组等价的性质
(1)自反性：向量组与其自身等价；
(2)对称性：若向量组与向量组等价，则向量组也与向量组等价
(3)传递性：若向量组与向量组等价，向量组与向量组等价，则向量组与向量组等价

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