基本概念
,无解
,有唯一解
,有无穷多解
,有唯一解(零解)
,有无穷多解(有非零解)
线性表示定义
向量可由向量组线性表示的充要条件
向量组等价定义(能互相线性表示)
向量组可由向量组线性表示的充要条件 r(A)=r(A,B)
向量组等价充要条件:r(A)=r(B)=r(A,B)
向量组B可由向量组A线性表示,可推出 r(B) ≤ r(A)
线性相关与线性无关定义(及几何意义)
向量组线性相关的充要条件(所构成矩阵的秩小于向量个数)
若 α1……αs 线性无关,而α1……αs, β 线性相关,则 β 可由 α1……αs 唯一表示。
替换定理
部分相关,全体相关;全体无关,部分无关。
低维无关,高维无关;高维相关,低维相关。
最大无关组
向量组与自己的最大无关组等价
矩阵的秩等于它行(列)向量组的秩
求最大无关组的方法
向量空间定义:对 n 维向量加法和数乘运算封闭的集合
基(就是最大无关组)和维数(最大无关组向量个数)
坐标(线性表达式的系数)
过渡矩阵
解空间与基础解系(就是极大线性无关组)
解向量个数:对,若,则解向量个数(解空间维数)为(为未知量个数,即矩阵列数)
非齐解之差为齐解
非齐解加齐解为非齐解
非奇特加奇通为非奇通