几何意义:弧长 or 周长
0.判定类型
平面:关于X轴对称———Y偶倍奇零
空间:关于YOZ面对称——X偶倍奇零
有时代入后不必再投影,就在原本的曲线位置,直接算周长
2.一投
令X = X0 + RCos t
令y = y0 + RSin t
令成圆,加上雅可比行列式
算弧微分
物理意义:变力F,在dx dy dz方向上的做功
dx ——> x'(t)
dy ——> y'(t)
dx直接往后面提走
dy——>f'(x)乘在dy的位置
对称两边的dx dy的方向导致 相互抵消 or 加倍
封闭
左手在内
补圆(左手在内)只积圆
补在y轴 dx == 0
补在x轴 dy == 0
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y) 全微分方程
{ P(x,y),Q(x,y) } 是u的梯度
方法折线法
条件:有界闭区域,力函数具有一阶连续偏导
化为第一型曲面积分 cos a cos b cos r (单位外法向量)dS
适用:平面的法向量 好算
第一型曲面积分不用考虑方向,但要计算弧微分
对称性 or 轮换对称性
化为第二型曲面积分 dydz dxdz dxdy
几何意义:曲面面积
0.判定类型
平面:关于X轴对称———Y偶倍奇零
空间:关于YOZ面对称——X偶倍奇零
有时代入后不必再投影,就在原本的曲面位置,直接算面积
2.一投
3.二代
柱面 or 球面 or 锥面的 dS
物理意义:经过曲面的通量
1.基本计算(化为二重积分)——三面投影
(尤其注意法向量”方向“问题)
z奇倍
z偶0
z奇0偶倍
注意法向量的“方向“和坐标轴的角度
基本计算是投影到三个面,归一法是只投影到一个面
dydz = cos a dS
dxdz = cos b dS
dxdy = cos r dS
条件:闭区域,一阶连续偏导
方向:外侧
补面:z = 4 ()
减去补面(第二型曲面基恩)——化二重积分注意"方向"
奇点:补蛋(取外侧)只积蛋