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高中数学选择性必修二：第四章数列

作者：TeacherR

0浏览2024-04-16 15:07:45

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数列

4.1 数列的概念

数列

按照确定的顺序排列的一列数叫做数列

数列中的每一个数叫做这个数列的项

数列的第一项叫做首项

数列{}是从正整数集N*（或它的有限子集{1,2,···，n}）到实数集R的函数，其中自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为=f(n)。

数列的单调性

从第2项起，每一项都大于等于它的前一项的数列叫做递增数列，从第2项起，每一项都小于等于它的前一项的数列叫做递减数列，特别地各项都相等的数列叫做常数列。（常数列是等差数列不是等比数列，列如每项都是0）

通项公式

如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。

递推公式

像=(n≥2)，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，

数列的前n项和

把数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=++···+

如果数列数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式。

补充：特别的有些数列用来协调每一项的正负

4.2 等差数列

等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看出是最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b。

首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为

等差数列与函数

=+=+（），当d≠0时，等差数列{}的第n项是一次函数=（∈R）当x=n时的函数值，即，其图像的斜率为d，截距为

等差数列的前n项和公式

一般地对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定

4.3 等比数列

等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示（q≠0）

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，=ab

首项为，公比为q的等比数列{}的通项公式为

等比数列与函数

，当q＞0且q≠1时，等比数列{}的第n项是函数=（x∈R）当x=n时的函数值，即

等比数列的前n项和公式

与等比数列相关的习题要对q是否等于1进行讨论

4.4 数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法

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