高中数学必修第二：第六章平面向量及其应用_思维导图模板

高中数学必修第二：第六章平面向量及其应用

作者：TeacherR

0浏览2023-04-15 18:16:31

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平面向量及其应用

6.1 平面向量的概念

向量的实际背景与概念

既有大小，又有方向的量叫做向量

向量的几何表示

具有方向的线段叫做有向线段

以A为起点、B为终点的有向线段记作

线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||

有向线段三要素：起点、方向、长度

向量的大小称为向量的长度（或称模），记作||

零向量：长度为0的向量，方向任意，记作||，=

单位向量：长度等于1单位长度的向量，=1

向量也可以用字母表示

相等向量与共线向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又称共线向量，记作//

零向量和任意向量平行

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作

6.2 平面向量的运算

向量加法运算

三角形法则

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．+=这种计算法则称为向量加法的三角形法则，收尾相连、连接收尾、指向终点

平行四边形法则

交换律

结合律

+=+

与共线同向

=,=,则=

与共线反向

=,=,则=

一般的我们有|+|≤（等号成立，共线同向）

向量减法运算

长度相等，方向相反的向量叫做相反向量

求两个向量差的运算叫做向量的减法

三角形法则

首首连，尾尾连，指向被减数向量

一般的我们有|+|≤（等号成立，共线反向）

向量数乘

一般地，我们规定实数λ与的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ

Iλl=Iλ|||

当λ＞0时，的方向与的方向相同。当λ＜0时，的方向与的方向相反

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量

（≠0）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使=λ

向量的数量积

已知两个非零向量和，O是平面上任意一点，做=，=，则∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量与的夹角，的夹角记作<>

当θ=0时，同向；当θ=π时，反向

如果与的夹角是，我们就说与垂直，记作⊥

已知两个非零向量，它们的夹角为θ，我们把数量cosθ叫做向量的数量积（或内积），记作，即=cosθ

零向量与任一向量的数量积为0

投影向量

投影

设a, b是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换，过的起点A和终点B、分别做所在直线的垂线，垂足分别为,，得到我们称上述变换为向量a是向量b的投影

投影向量

叫做向量在向量上的投影向量

常用公式

设是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量

对于向量和实数λ

子主题2

推论公式

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

如果是统一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数使

若不同线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．

在平面直接坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为，取{}作为基底，则平面内任意一个向量，有且只有一对实数x，y使得=，=（x，y），，

平面向量加、减运算的坐标表示

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

平面向量数乘运算的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

共线的充要条件是

平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，

垂直的充要条件是

6.4 平面向量的应用

平面几何中的向量方法

中位线的证明等

向量在物理中的应用举例

余弦定理、正弦定理

余弦定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方、等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

正弦定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

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高中数学必修第二：第六章平面向量及其应用，人教A版本（同步教材知识点）

高中数学必修第二：第六章平面向量及其应用平面向量数量积

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