线性代数是学习任何技术学科都需掌握的科目之一
几何水平上的理解能判断出特定问题要用什么工具，感受它们为何有用以及如何解读结果；数值水平上的理解能顺利应用工具
目的：形成正确的几何直观
线代中最基础最根源的组成部分是向量
物理角度：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和所指方向
计算机角度：向量是有序的数值列表
数学角度：向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数乘是有意义的即可
向量加法和向量数乘起重要作用，贯穿线代始终
相加
数乘：缩放向量。选择的数称为标量
线代给计算机提供了一种语言，通过计算机能处理的数字来描述并操控空间
基：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
另一种看待向量的方式：把每个坐标看成标量，通过对基向量的缩放组合来表达
两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
所有可表示为给定向量线性组合的向量的集合被称为给定向量张成的空间
对大部分二维向量对来说，他们张成的空间是所有二维向量的集合；
共线时，他们张成的空间就是终点落在一条直线上的向量的集合；
两个都是0向量，呆在原点
两个向量张成的空间实际上是问“仅通过向量加法与向量数乘这两种基础运算，能获得的所有可能向量的集合是什么”
所有向量都给张成的空间增添了新的维度，称它们“线性无关”
第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上，它们张成的空间并不改变，还是被困在这个平面中
一组向量中至少有一个是多余的，称它们是“线性相关”的
线性变换两个性质：
1.直线在变换后仍为直线，不能有所弯曲；
2.原点必须保持固定
用数值描述线性变换：变换后的向量是变换后的基向量同样的线性组合。一个二维线性变换仅由四个数字完全确定。
线性变换是操纵空间的一种手段
矩阵向量乘法看作它们的线性组合
矩阵看成对空间的一种特定变换
剪切，数学上也叫错切
严格意义上，线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数
从右往左读，先应用右侧矩阵代表的变换，再应用左侧矩阵代表的变换
起源于函数的记号，将函数写在变量左侧，将两个函数复合时，总要从右往左读。
用几何思想去证明结合律理所应当，就是将三个变换用同样的顺序依次作用而已
和二维一样，三维线性变换由基向量的去向完全决定，“缩放再相加”。
三维矩阵相乘在计算机图形学和机器人学等领域有非常重要的应用。
几何意义：线性变换缩放面积(二维)/体积(三维)的比例，被称为这个变换的行列式
行列式的绝对值仍表示区域空间的缩放比例
二维，一个感觉整个平面翻转了；另一种根据和的位置，如初始在左侧，变换后，在右侧
三维，右手定则，若变换后只能用左手实现，则定向改变
行列式为0，压缩到一个平面(三维)或一条线，甚至一个点上，使体积或面积为0
检验一个矩阵的行列式是否为0，能了解这个矩阵代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上。
代表矩阵的列线性相关
二维=ad-bc
三维
每一个方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时
可在两边同乘A 逆求解向量方程
det(A)=0时，没有逆变换，不能将一条线“解压缩”为一个平面
所有可能的变换结果的集合
名字由来：矩阵列说明基向量变换后位置，变换后的基向量张成的空间（就是所有可能的变换结果。也就是说，列空间就是矩阵的列张成的空间。
零向量一定会被包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变
满秩情况，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身
非满秩情况，因降维故有一系列向量变换后成为零向量
更准确的定义：列空间的的维数
满秩：秩与列数相等
变换后落在原点的向量的集合
几何意义：将二维空间映射到三维空间上
满秩，因列空间（列张成的空间）的维数与输入空间的维数相等
与点积紧密相关
w投影和v方向相反时，点积为负值；方向一致，点积为正值；w和v垂直，点积为0
点积与顺序无关
单位向量的点积可解读为：将向量投影到单位向量所在的直线上所得到的投影长度；
非单位向量--投影，而后缩放
一个向量的对偶是由它定义的线性变换
一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间的某个特定向量
点积是理解投影的有效工具，方便检验两个向量的指向是否相同。两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为线性变换
将向量看作线性变换的物质载体
顺序有影响
基向量是定向的基础
行列式用来度量面积变换的比例，因为ij面积为1，所以直接来表示平行四边形的面积
真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量，新向量长度为平行四边形面积，方向由右手定则决定
坐标(0,0)的含义：任何向量乘以0时得到的坐标
单个向量的描述在不同坐标系间进行转化：某个向量的特定坐标和基向量数乘，将结果相加（（-1，2）转化成（-4，1），向量一样，坐标系不一样）
反过来，用逆矩阵
三维，特征值必为1，因为旋转不缩放任何一个向量
特征值：衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子
当且仅当矩阵代表的变换将空间降维（行列式为0）时，才会存在一个非零向量使矩阵和它乘积为0。v是A的一个特征向量，在变换中停留在它张成的空间里。
旋转矩阵没有特征向量，特征值为虚数i，-i；剪切矩阵，所有x轴上的向量都是是属于特征值1的特征向量，都保持不变
有可能出现只有一个特征值，但特征向量不止一条的情况
特征基：一组基向量构成的集合
线性变换满足两条性质：“可加性”、“成比例（一阶齐次）”
让所有已经建立好的理论和概念适用于一个向量空间，要满足八条公理
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