原函数的一般表达式被称为函数的不定积分,是所有原函数的集合。
定积分是函数在确定区间上的原函数;
定积分()的几何意义是曲线与直线y=0,x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积:一般非定号的函数而言,定积分是曲边梯形正、负面积的代数和。
▶ 定积分存在定理:
①函数在闭区间上连续,函数的定积分存在;
②函数在闭区间上有界,且只有有限个间断点,函数的定积分存在;
▶ 原函数存在定理:函数的导数在闭区间上连续,则闭区间上必存在原函数。
①变上限的定积分和变下限的定积分统称为“变限积分”。
②变上限的定积分即上限为自变量 X;
③变上限定积分是函数的一个原函数,变上限函数对上限变量求导,其实是不定积分与定积分的关系。
(不定积分=变限积分+C)
原则是: 应该能积分
几个十分有用的定积分公式
无穷区间上的反常积分(若右边极限存在,称此反常积分收敛)
只要一看积分限有∞,便知这是无穷区间上的反常积分。
①使函数→∞的点b称为的奇点;
②识别无界函数的反常积分的重要标志是被积函数是否有使其分母为零的点,但不唯一;
③具有使函数趋向积分限的极限趋向于无穷大的点;
若点a和b都是奇点,则应分成:
若两个反常积分中至少有一个不存在,就说等式左边的反常积分不存在。
若开区间内部点c为奇点,则反常积分为:
右边两个反常积分中若至少有一个不存在,则称此反常积分发散。
一个重要的反常积分
重要几何公式与物理应用
(数学三只要求会计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值)