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第五讲一元微分学的应用——几何应用

作者：浑水摸鱼

0浏览2025-06-07 09:36:16

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一元微分学的应用——几何应用

极值的定义

对于函数f(x)，在x0的某个领域内，使得在该领域内的一点x，均有f(x)≥f(x0)或者f(x)≤f(x0)，则称f(x)为极大值或极小值，x0为极大值点或者极小值点

局部概念

端点处不讨论极值和间断点

常数函数处处是极值

左领域减，右领域增加或者左领域增，右领域减，不是极值点的充要条件（反例：常数函数）

间断点也可能是极值点

单调性与极值的判别

一阶可导点是导数的必要条件

设f(x)在x0处可导，且在x=x0处取得极值，则（费马小定理）

判断极值的第一充分条件

判断极值的第二充分条件

证明：使用定义法+保号性

不能说明无变化，只是说明变化幅度很小，用二阶导就可以测出来

判断极值的第三充分条件

记忆：奇拐偶极（奇数导是拐点，偶数导是极值点）

严格单调增加导数不一定大于0，比如x^3

凹凸性与拐点的概念

定义1：设函数f(x)在区间I上连续，如果对于I上任意不同的两点x1,x2都有,则称f(x)在区间I上是凹函数，如果恒有，则称f(x)在区间I上是凸函数

广义的凹凸性

凸函数

凹函数

其中（)

定义2：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，对于(a,b)内任意一点x0,都有，
称f(x)在[a,b]上为凹（凸）函数

拐点的定义

连接曲线的凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点

极值点只写x=,拐点要写

凹凸性与拐点的判别（前提：二阶可导）

二阶可导点是拐点的必要条件

判断拐点的充分条件

第一充分条件

设 f"(x)=0，且在 x0 的去心邻域内二阶可导，若 f"(x) 在 x 的两侧异号，则点是拐点；若同号，则不是拐点。

第二充分条件

设 f"(x0)=0 且函数在 x0 处三阶可导。若 ≠0，则点是曲线 f(x) 的拐点；若 =0，无法判断是否为拐点。

证明：定义法

第三充分条件

额外补充：当看到奇数偶数的时候，要想到2n+1为奇数，2n为偶数，这样就可以分段讨论

极值点和拐点的重要结论

奇拐偶极，n大于1

渐近线

铅直渐近线

找瑕点，无定义的点

水平渐进线

斜渐进线

记忆：既然是斜渐进线，肯定就是要斜线，所以要比上x求极限

无脑正负无穷取极限

最值取值范围

如果f(x)在区间I上有最值点x0，并且此最值点x0不是区间I的端点而是I内部的点，那么此x0必是f(x)的一个极值点。

求区间最值

曲率及曲率半径

设y(x)二阶可导，则曲线y=y(x)在点(x,y(x))处的曲率公式为

曲率半径计算公式

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