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第一章：晶体结构

晶体结构的周期性

原子排列具有周期性，形成长程有序的三维空间结构。

晶体的各向异性：晶体物理性质：是晶体内部原子排列具有周期性的结果和宏观体现。

晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。

晶体结构的周期性

基元、格点和晶格

基元：在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元。

晶格：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，通过这些点做三组不共面的平行直线族，形成一些网格，称为晶格

格点：代表基元在晶格中空间位置的点称为格点

布拉维晶格、简单晶格和复式晶格

布拉维晶格：由基元的代表点（格点）形成的晶格称为布拉维晶格，这种格子的特点是每点周围的情况。

简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格

复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。

原胞与基矢

原胞：在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的一定长度周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞。

固体物理学原胞(简称原胞)

构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。

特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。

结晶学原胞（简称晶胞）

构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。

特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。

维格纳--塞茨原胞（WS原胞，也称对称原胞）

构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S原胞

特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。

优点：（1） Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉维格子的对称性；
（2）该取法今后要用到。缺点：（1）Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便；
（2）平移对称性反而不直观。

基矢：代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。

注意事项

一个布拉维格子基矢的取法不是唯一的，二维布拉维格子几种可能的基矢和原胞取法

不同的基矢一般形成不同的布拉维格子

格矢量：若在布拉维格子中取格点为原点，它至其他格点的矢量称为格矢量。

常见的实际晶体结构

几种晶格的实例

一维双原子链、一维单原子链

二维正方堆积、二维密排堆积

三维

简立方（sc）：每个布拉维原胞包含1个格点

体心立方（bcc）：除顶角的格点外还有一个格点位于立方体的中心，故称为体心。

面心立方（fcc）：除顶角上的格点外，在立方体的6个面的中心还有6个格点故称为面心立方。

复式格子：由若干个相同结构的布拉维格子相互嵌套而成的格子称为复式格子。

金刚石结构

氯化钠结构

氯化铯结构

钙钛矿结构

晶体结构的对称性、晶系

晶体微观结构的规则性可由周期性来描述。除此之外，晶体还表现出的几何外形上的规则性，称之为宏观对称性。

晶体外形上对称性是其内部结构规律性的反映。

晶体对称性的研究意义：

（1）可以定性或半定量的确定与其结构有关的物理性质，而且大大简化计算！
（2）从数学角度看，晶体的对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶体性质的不变性！

对称性

晶体经过某种操作后能恢复原状的特性。因为操作不改变晶体中任意两点的距离，所以如用数学表示，这些操作就是线性变换。

最基本操作

旋转对称

中心反演

平面反映

平移操作

注意：平移操作与前面的3个操作不同之处是，前面的三个操作都保持了一个点不变，而平移操作不是这样。所以平移操作矩阵行列式|A|≠±1。

晶体宏观对称性基本点对称操作

晶体宏观对称性是晶体在一定操作下保持自身重合的性质。宏观对称操作只
能是点对称操作。点对称操作是指在操作的过程至少保持一点不动的操作。

旋转对称(Cn)

若晶体绕某一固定轴转2π/n以后自身重合，则此操作为转动对称操作，此旋转轴称为晶体n次（度）对称轴，用符号Cn表示。

受到晶体周期性的制约，晶体绕固定轴 x1 转动角度θ 的允许值： 360°、180°、120°，90°，60°

晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6次轴。n=5和n>6的对称轴是不存在，这个规律称为晶体对称性定律。

旋转--反演对称轴（Sn）

若晶体绕某一固定轴旋转以后，再经过中心反演而重合，则称此晶体具有n次旋转--反演对称轴，用符号Sn表示这种对称操作。这是一种旋转与中心反演的复合操作！

综上所述：晶体中独立的基本的宏观对称操作只有8种,即 C1，C2，C3，C4，C6，i，σ , 4 ̅

晶体宏观对称性的描述点群

晶体的宏观的对称性用其所有对称性的集合描述，一个晶体具有对称性操作越多，其对称性越高。

群的基本知识必须同时满足

封闭性

结合律

单位元素

逆元素

点群：由8个基本的点对成操作（旋转、中心反演、镜象和旋转--反演）所构成的对称操作群。

理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。

晶体微观对称性

从微观上看，晶格的排列是无限的，为了描述晶体结构的对称性，必须引入平移对称性操作。

n度螺旋轴

若绕轴旋转2/n角度以后，再沿轴方向平移的(T/n)l 倍，晶体能自身重合，则称
此轴为n度螺旋轴。

滑移反映面

若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平移T/n后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。T

宏观对称性加微观对称性可以导出230种空间群。每种空间群对应一个晶体结构。

晶系和布拉维原胞

三斜晶系

简单三斜(1)

单斜晶系

简单单斜(2) 底心单斜(3)

三角晶系

三角(4)

正交晶系

简单正交(5)，底心正交(6)体心正交(7)，面心正交(8)

四角系：(正方晶系)

简单四角(9)，体心四角(10)

六角晶系

六角(11)

立方晶系

简立方(12)，体心立方(13)，面心立方(14)

密堆积配位数

配位数

一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数.它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。

密堆积

如果晶体是由同种粒子组成的，且把粒子看成是等大的刚性圆球，这些全同最紧密堆积成为密堆积。

立方密堆积

第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙。
第二层：占据1，3，5空位中心。
第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，
形成面心立方结构，称为立方密积。

六角密堆积

第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙。
第二层：占据1,3,5空位中心。
第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。

配位数的可能值

配位数的可能值为：12(密堆积)，8(氯化铯型结构)，6(氯化钠型结构)，4(金刚石型结构)，3(石墨层状结构)，2(链状结构)。

配位数与球半径之比的关系

致密度

如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度。

晶向、晶面和它们的标志

晶向及晶向指数

晶向：通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列。过一格点可以有无数晶列。晶列的取向称为晶向。

(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。

晶向指数：描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)

注意

(1)晶列指数一定是一组互质的整数；
(2)晶列指数用方括号表示[ ]；
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。

晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成<100>

晶面及密勒指数

晶面

在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。

晶面指数

晶面方位：晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)；晶面在三个坐标轴上的截距

以晶胞的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。

倒格布里渊区

倒格子定义

一个晶体结构有两个格子，一个是正格子，另一个为倒格子。

倒格子与正格子的关系

倒格子与傅里叶变换

同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守傅里叶变换。

面心立方晶格的倒格子是体心立方

体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方。

布里渊区

将倒格子空间分割为许多多面体区域，这些区域就称为布里渊区。被上述平面所包围的围绕原点的最小区域称为第一布里渊区，也称为简约布里渊区

特征

(1)第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳——赛兹原胞，其形状围绕原点中心对称；
(2)其余每个布里渊区的各个部分也都是以原点为中心对称分布的；
(3)每个布里渊区的体积都相等且等于倒格子原胞的体积。

固体物理

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