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数学-选择性必修1-基础概念全总结

作者：灬

0浏览2023-01-11 14:49:53

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数学-选择性必修1

空间向量和立体几何

物理量

本质

类比平面向量

差异

维度

涉及两个向量的空间问题直接化归为平面向量

模/长度

特例

模=0

零向量

模=1

单位向量

模相等

相等向量

方向

相反向量

平行向量/共线向量

运算

线性运算

基础运算

加

减

数乘

运算律

数量积

背景

投影

a,b≠0,∠AOB=

设b为单位向量

a投影到b上

投影数量

a·b

投影向量

(a·b)·b

b目的是为投影数量附上方向

公式

cos特殊值

=90°

=0°

a·a也记作a²

空间内的投影向量

其中b表示b方向上的单位向量，给投影数量附上方向

运算律

基本定理

平面向量基本定理

p=xa+yb（a,b≠0）

可以用来证明向量共面

空间向量基本定理

ia+jb+kc

基底

{a,b,c}

在单位正交基底下，可表示为

（i,j,k）

空间直角坐标系Oxyz

右手直角坐标系

空间向量的坐标表示

空间两点的距离公式

应用

点线面的向量表示

点

（i，j，k）

线

面

平面由两相交直线确定

平面由一固定点和一垂直于固定点的向量确定

垂直于某一平面的向量称为法向量

线面平行关系

线线

本质

m∥n

线面

本质

l⊥n

面面

本质

m∥n

线面垂直关系

线线

本质

l⊥n

线面

本质

m∥n

面面

本质

l⊥n

距离夹角问题

距离问题

线线（共面）

已知直线AP、l的方向（向量）

借助投影可求|AQ|

勾股定理求|PQ|

线面

已知直线AP、面的方向（法向量）

法向量就是l的方向向量

借助投影直接求|PQ|

其它问题

异面直线

e.g.

正方体棱长为1，E,F均为中点，求CF,AE的距离

法1

化归为求线面距离

CF∥面AEC₁

CF，AE=CF，面AEC距离

点线

化归

线线

点面

面面

化归

线面

夹角问题

线线夹角

u，v分别是l₁，l₂的方向向量

线面夹角

u是l方向向量，n是α法向量

面面夹角

n₁，n₂分别是α，β法向量

∈[0°，90°]

二面角

n₁，n₂分别是α，β法向量

∈[0°，180°]

要注意二面角的大小和答案的正负

直线和圆的方程

直线的倾斜角和斜率

定义：转出来的

k=tanα（α≠90°）

推导

α≠90°

线线平行/垂直的判定

线线平行

k₁=k₂（k存在）

线线垂直

k₁·k₂=-1

a=（1，k）

a₁·a₂=0

直线方程

点斜式

不能刻画l⊥x轴的直线

未知量

(x₀,y₀)

斜截式

b是y轴的截距

未知量

两点式

不能刻画l⊥x轴，l∥x轴直线

未知量

(x₁,y₁)

(x₂,y₂)

截距式

不能刻画l⊥x轴，l∥x轴直线

未知量

分别为在x,y轴上的截距

一般式

A,B不同时为0

直线交点坐标和距离公式

交点坐标

联立两直线方程

点点距离

点线距离

A,B不同时为0

线线距离

圆的方程

标准方程

未知量

圆心

半径

一般方程

取值范围

参数方程/极坐标方程

直线与圆的位置关系

综述

证明

判别式法

求直线和圆方程联立的Δ

dr法

求圆心到直线距离和半径的关系

直线与圆的位置关系

综述

证明

drr法

圆心的距离和半径之和或半径之差的关系

公共弦

两圆相交时，两圆方程之差就是公共弦所在直线方程

若不相交时，是根轴

圆锥曲线

椭圆

定义

第一定义

我们把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆

若=|F1F2|

点在F1F2上

m+n=2a

第二定义

平面内到定点 F1（即焦点）的距离与到准线l（F不在l上）的距离之比为常数e（即离心率）的点P的轨迹是椭圆

第三定义

平面内到定点A,B的斜率乘积为常数(=)的点P的轨迹是椭圆

物理量

焦点

定点F1,F2

焦距

|F1F2|

标准方程

焦点落在x轴

推导

两点距离公式带入定义

若(b>a>0)

焦点落在y轴

性质

范围

当(x,y)落在椭圆上时，注意其取值范围

对称

把方程中x由-x替换，方程不改变

中心

椭圆的对称中心

顶点

上下左右

共四个

长轴

半长轴

短轴

半短轴

离心率e

定义

刻画

椭圆的扁平程度

取值范围

e∈(0,1)

双曲线

定义

第一定义

我们把平面内与两个定点 F1，F2的距离的差等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线

|μF1|-|μF2|≠0

若|μF1|-|μF2|=0

以F1,F2为端点的中垂线

若a>c

不存在

若a=c

射线

m-n=2a

第二定义

平面内到定点 F1（即焦点）的距离与到准线l（F不在l上）的距离之比为常数e（即离心率）的点P的轨迹是椭圆

第三定义

平面内到定点A,B的斜率乘积为常数的点P的轨迹是椭圆

标准方程

x/y前的系数>0，则焦点落在x/y轴上

推导

两点距离公式带入定义

性质

范围

对称性

原点

中心

顶点

上下左右

实轴

A1A2

虚轴

B1B2

渐近线

方程

离心率e

定义

刻画

双曲线的开口大小

取值范围

e∈(1,+∞)

抛物线

定义

平面内到定点 F1（即焦点）的距离与到准线l（F不在l上）的距离之比为常数e（即离心率）的点P的轨迹是椭圆

标准方程

p为焦点到准线距离

物理量

准线

焦点

性质

顶点

原点

离心率e

e=1

范围

沿开口方向无限延伸

对称性

对称轴为x/y轴

重要性质/通法/公式

焦半径公式

通式

针对抛物线

(e=1)

推导

焦点弦(长)公式

备注

针对抛物线

同一焦点弦下

参数方程/极坐标方程

本质

利用

设

x=acosθ

y=bsinθ

x=rcosθ

y=rsinθ

椭圆

圆

表示方程上的点

其次化

Q：k1·k2或k1+k2（倒数/之差也可以，需要变形）

韦达定理

求交点坐标

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数学-选择性必修1-全书基础概念

数学选择性必修1 圆锥曲线空间向量立体几何

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