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第六讲一元微分学的应用(二)——中值定理、微分不等式与微分不等式

作者：浑水摸鱼

0浏览2025-06-07 09:36:21

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一元微分学的应用(二)——中值定理、微分不等式与微分不等式

中值定理

涉及函数的中值定理

有界与最值定理

m≤f(x)≤M，其中m,M为[a,b]上的最大值和最小值

只要连续函数并看到区间，应快速想到最值定理

介值定理

当，存在∈[a,b]，使得

结合夹逼准则

平均值定理

当a<

零点定理

至少有一个根

涉及导数的中值定理

费马定理

设f(x)在x0处满足可导并取极值，

罗尔定理

构造函数

当想不到构造函数的时候，令F(x)'=f(x)，两边同时积分也不失为一种方法

拉格朗日中值定理

设f(x)满足：在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则存在∈(a,b)，使得

归一化

看到f(a)-f(b)或者f与f'的关系，一般想到用拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理作用是用导函数的值来控制函数值的增减

可以说拉格朗日是用来联系导函数和函数的桥梁

柯西中值定理

设f(x)，g(x)满足：[a,b]连续，在(a,b)内可导，g(x)'≠0，则存在

泰勒公式

带拉格朗日余项n阶泰勒公式：设f(x)在x0的某个领域内n+1阶导数存在，则对于该领域的任意x，都有

带佩亚诺余项的n阶泰勒公式：设f(x)在x0处n阶可导，则存在x0的一个领域，对于该领域内的任意点x,有

当x0=0的时候为麦克劳林公式

麦克劳林展开式（级数常用）

经典题

只要看到具体的一点，大多数都是用泰勒

设函数f(x)在区间[−1,1]上具有三阶连续导数，且f(−1)=0，f(1)=1，f(0)'=0，证明：在区间(−1,1)内至少存在一点ξ，f(ξ)'''=3。

大于等于2阶为高阶

若证用罗尔中值定理可能性大

若证，用泰勒公式可能性大

不等式用泰勒是因为泰勒是取一点x0,使得逐渐逼近f(x)，等式用罗尔是因为罗尔定理本身就是等于

微分等式

零点定理（证明根的存在性）
若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。

单调性（证明根的唯一性）
若f(x)在(a,b)内单调，则f(x)=0在(a,b)内至多有一个根，这里区间(a,b)可以是有限区间也可以是无穷区间。

罗尔定理及其推论
当不易使用零点定理时，可考虑罗尔定理及其推论.

实系数奇次方程至少有一个根

证：分别取正负无穷极限，根据零点定理

习题

关于零点问题，求常数取值范围一般采用数形结合，找交点

微分不等式

用函数性态（包括单调性、凹凸性和最值等）证明不等式

第二讲结论

补充中值定理结论（第二讲）

用常数变量化证明不等式

数一概率论

积分中，遇到应该想到将令x=b，从而有

用中值定理证明不等式

主要是拉格朗日和泰勒公式（常数变量化）

扩展

对于拉格朗日和柯西中值定理，前提是在区间I可导并连续，否则不能使用

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