无论有多小,在趋向的时,我与极限值的距离总小于你。
去心邻域
已知极限值为A →绝对值的极限为|A|
当A=0时。可以相互推出
极限存在必唯一【极限存在,要保证在趋向过程中处处有定义】
极限的存在与该点的函数值无关,该点也可以无定义
局部有界性【去心邻域范围内】
比较在一个趋向下的函数的大小关系
已知极限正负,欲知趋向过程中被求极限函数的正负性
先定型后代定法,定法之前先四化
注意lim这个帽子。不可以脱帽计算
非零因子可带化
加减法中存在项可拆化
根式做差有理化
幂指函数幂指转换化
远远大关系【命】
可拆的情况
补项法
∞-∞可以考虑剃毛法
无限项无穷小相加未必是无穷小
趋向于-∞的时候,长个心眼。可采用负代换
乘除法中的非零因子可淡化
定型以后一律看作未定式处理
分子分母的趋向关系
左右极限不相等,注意看趋向形式
凑:找到两个函数的关系
反解(万能)关系定理
高阶,低阶,等价,同阶
无穷小要有阶的感觉,和取低阶、同阶一起看
无穷下*有界=无穷小
关系定理
乘除法可以代换
加减法慎用【-1】
f(x)➡1,lnf(x)~f(x)-1
f(x)➡1,-1~α[f(x)-1]
两e做差,提后者
等价无穷小的重要条件(加上其高阶无穷小)
低阶吸收、乘法叠加、数乘无关
相消不为零(阶数)
无缺项的情况
推广
上下同阶
数列与子数列
无论你多小,总有一个N,n>N时,数列与极限值的距离小于你
只有一种趋向形式(无穷)
与之前的无关,从N开始,我们都跟A混
数列收敛于A,所有子数列收敛于A。
所有子数列都收敛于A时,数列才收敛于A
爹到所有儿子都必到
所有儿子都到了,爹才会到
唯一性
有界性
局部保号性
不可以使用洛必达,数列是离散的
不可以进行倒代换,数列只有一种趋向形式
n➡x
∞➡+∞
x➡n
夹住就行,未必要有等号
两边极限存在且相等
次要项对最终结果往往影响不大
极限的四则运算不可以使用
根据最值进行放缩
重要不等式的记忆
单调递增有上界,必有极限
单调递减有下界,必有极限
证明极限存在
(1)有界限:数学归纳法
(2)单调性:做差与0比;做比与1比;“求导”
求解数列极限
先求极限后证明,证明之后算极限
连续 :极限等于函数值,函数都往这里跑
【分:需要左右开弓】
在这一点处连续➡在这点有定义
左右极限
存在最值且有界
初等函数在其定义区间 连续
四则运算(参考极限)
复合函数的连续
跳跃间断点
可去间断点
无穷间断点
震荡间断点
S1:找出可疑点
S2:求极限
几个震荡的图形