微分方程:含有未知函数、未知函数的导函数与自变量之间关系的方程;
微分方程的阶:未知函数导函数的最高阶数;
常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程;
微分方程的解:在区间上连续且有直到n阶的导数,并使得微分方程成立;
通解:解含有n个独立的任意常数的函数;
特解:不含任意常数的解;
初始条件确定通解中的任意常数就得到一个相应的特解。
①利用初始条件+一阶常微分方程解决一阶常微分方程的初值问题;
1、变量可分离的微分方程
分离变量→两边积分→添上任意常数C→通解
2、齐次微分方程
用新的未知函数代替元未知函数→分离变量→积分→添上任意常数C→通解
3、一阶线性微分方程
写成标准式→通解
4、伯努利方程
n阶线性非齐次微分方程、n阶线性齐次微分方程;
线性相关、线性无关;
①非齐次解=非齐次解+齐次解;
②齐次解=非齐次解+非齐次解;
③齐次线性方程的解的叠加仍是齐次线性方程的解;
④齐次线性方程的通解结构为齐次线性方程的n个线性无关的解与任意常数的乘积之和;
⑤非齐次线性方程的通解=齐次通解+非齐次解;
自由项为的解的叠加原理
二阶常系数线性齐次方程的通解求法及公式
某些特殊自由项的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
类型一
类型二
可降阶方程的解法(三种)
差分:反映了离散量之间的一种变化,常用函数差近似导数;
差分方程:包含未知函数的差分及自变数的方程。