高中数学必修一：第四章指数函数与对数函数_思维导图模板

高中数学必修一：第四章指数函数与对数函数

作者：TeacherR

0浏览2022-11-28 14:47:27

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指数函数与对数函数

4.1 指数

n次方根与分数指数幂

一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*

负数没有偶次方根

０的任何次方根都是０

式子叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数

分数指数幂

正数的正分数指数幂：=（a＞0，m，n∈N*，n＞1）

正数的负分数指数幂：==（a＞0，m，n∈N*，n＞1）

０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂没有意义

无理数指数幂及其运算性质

一般地，无理数指数（a＞０，α为无理数）是一个确定的实数．

指数的运算性质

当>0,b>0时

×=（r，s∈R）

=（r，s∈R）

=（r∈R）

=（r，s∈R）

=（p∈Q）

=（m，n∈N+）

4.2 指数函数

指数函数的概念

一般地，函数=（>0，且≠1）叫作指数函数，其中指数是自变量，定义域是R

指数函数的图像和性质

图像

性质

非奇非偶函数

定点（0，1）

任何两个底数互为倒数函数的指数函数的图像关于y轴对称

4.3 对数

对数的概念

一般地，如果=N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

将以10为底的对数叫做常用对数，把N记作

无理数e=2.71828.....

以e为底的对数成为自然对数，把记作

对数与指数关系

当a＞0，a≠1时，=Nx=

负数和0没有对数

=0，=1

对数的运算

M+N=MN

M-N=

()=nb

b=b

b=（对数换底公式）

b=⇒b·a=1

4.4 对数函数

对数函数的概念

一般地，函数y=（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+）

对数函数的图像和性质

一般地，指数函数y=（a＞０，且a≠１）与对数函数y＝（a＞０，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．

不同函数增长的差异

直线上升：y=kx

对数增长：y=

指数爆炸：y=

4.5 函数的应用（二）

函数的零点与方程的解

与二次函数的零点一样，对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝０的实数x叫做函数y＝f（x）的零点

方程f（x）=0有实数解函数y=f（x）有零点函数y=f（x）的图像与x轴有公共点

函数零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断地曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也是方程f（x）=0的解

用二分法求方程的近似解

对于在区间[a，b]上图像连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

函数模型的应用

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