概念：给定一个无穷数列 ，将其各项用加号连起来得到记号 ，即
叫作无穷级数，简称级数，其中叫作该级数的通项。若是常数，则称 为常数项无穷级数，简称常数项级数。如在引例中写出的总时间，这里的通项 。
级数收敛和数列收敛的区别是什么？数列收敛是一个数收敛，但级数是和收敛
级数收敛和发散：，若（一个存在的有限数），则称收敛，并称S为该收敛级数 的和；若不存在，则称发散
① 写 ；
② 算是否存在
收敛+(-)发散=发散
发散+(-)发散=不一定
性质 2 改变级数任意有限项，不会改变该级数的敛散性。
常用来忽略有限项来判断敛散性
性质 3 收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变。
如若收敛，则也收敛。
加括号新级数收敛，原级数不一定收敛
如级数 ，其中常数 ，若从第一项起，两项两项地加括号，可得收敛，但原级数是发散的。
级数收敛的必要条件
这里S下标2n和2n+1不是表示下标为偶数或奇数的项之和，而是表示有奇数个或者偶数个项相加
若通项 ，，则称为正项级数。（部分和数列单调不减，注意是和，不是一个数）
`
收敛原则。
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列 有界。
比较判别法（注意是从某项起，也就是可以忽略有限项）
个人技巧：直接使用等价无穷小
调和级数：
不要局限于有限数，要看n->∞的时候，注意an是通项，不是某一个数
发散
收敛
回忆第八讲反常积分
给出一正项级数，如果，那么
① 若 ，则收敛；
② 若 ，则发散。
需要指出，若 ，无法用此法判定 的敛散性。比如对于 ，，则
；对于 ，，则 \[
给出一正项级数 ，如果 ，那么
① 若 ，则 收敛；
② 若 ，则 发散。
同样=1失效
完善了第八讲反常积分
为什么可以用积分判别法来判断级数的敛散性？
证明：积分中值定理，然后对每一项进行累加即可证明
只要对通项取极限不为0，则必发散
若级数各项正负相间出现，则称这样的级数为交错级数，一般写为
给出一交错级数 ，，，
若① 单调不增（可联系到函数使用导函数）；② ，则该级数收敛。
条件收敛
有时候如果判别不了单调性，可能是两个或两个以上复合而成的，需要拆项
如果级数 发散，我们不能断定级数 也发散。但是，如果我们是用比值判别法或根值判别法根据 或 而判定级数 发散的，那么我们可以断定级数 也必定发散。这是因为从 可推知 ，从而 ，因此级数 是发散的。
还可额外用举例法
不可以直接用 ，非正项级数不能直接用比较判别法，应使用 ，假设 收敛，则 收敛。矛盾，则假设不成立，原命题成立，即 发散
怎么记？但凡涉及这种，理解为消去了负号；收敛，不代表他的子数列收敛，可能是正负抵消的结果
当可以直接求出y'',y'的时候，没必要再去解微分方程
函数项级数
一般形式（在x0处展开），联想到泰勒展开，所以
标准形式（在x=0处展开）,联想到麦克劳林公式，所以
若给定 ，有 收敛，则称点 为函数项级数 的收敛点；若给定 ，有 发散，则称点 为函数项级数 的发散点。
函数项级数 的所有收敛点的集合称为它的收敛域
若幂级数在点x₀（x₀≠0）收敛，则对于满足|x|<|x₀|的所有x绝对收敛；反之若在x₁发散，则对于|x|>|x₁|的所有x发散。
收敛区间与收敛域（端点需要讨论）
事实上，第二个方法完全适用于第一个方法
和的积分等于积分的和
对于一般函数项级数收敛域，可以不是对称区间，也没有“收敛半径”
不能用方法一，方法一针对的是幂级数
看准在哪个位置展开（x-x0)
幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续（只是幂级数连续，其他级数不一定）
幂级数的和函数S(x)在其收敛域上可积，且有逐项积分公式（和的积分等于积分的和）
常用求和函数，积分后收敛半径不变，但收敛域可能会增大
幂级数 的和函数 S(x) 在其收敛区间 (-R, R) 内可导，且有逐项求导公式（和的求导等于求导的和）
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能缩小。
,
结论
用泰勒展开式去得出通项
不定积分通过函数与变上限积分进行转换（回忆十五讲，一元微分方程解），这个a相当于从x=a处进行展开
当幂级数是抽象函数，并给出了递归公式，可以考虑求导，建立微分方程
华理士公式，换元法，造未知参数，不定积分转换变上限积分
记公式不是目的，学会理解
在解题过程中不要忘记标注收敛域
如果函数f(x) 在点处存在任意阶导数，则称
为函数f(x) 在 处的泰勒级数，若收敛，则 。
特别地，当 时，称
为函数 f(x) 的麦克劳林级数，若收敛，则 。
它们都被称为函数展开成幂级数。
一般不采用
方法二（间接法） 利用已知的幂级数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数法等方法得到函数的展开式。
子主题1
逐项求导
解题过程不要忘记标明收敛域，因为求导和积分都可能导致收敛域变化
看到要想到这是求导而来的
只在[0,]上有定义的函数的正弦级数和余弦级数展开
0
0
分享
