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17 一元二次方程

作者：Shylia

0浏览2022-10-01 17:28:05

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一元二次方程

认识一元二次方程

概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。

一般形式

解

满足方程的未知数的值就是方程的解

常见题型：
①通常需要判断“a”是否为零。——a=0，b≠0，一次方程；a≠0，二次方程
②已知方程的解是……，求方程中的其它参数——代入法
……

一元二次方程的求解

①直接开平方法

一般形式：

例题：

②因式分解法

将一元二次方程进行因式分解，使其变成两个含有未知数的因式相乘的形式。
或
解得，

例题：

③配方法

将一元二次方程的一般形式化为完全平方公式，再直接用开平方法求解。

步骤

把常数项移到方程右边，把二次项系数化为1

将方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方

用直接开平方法解出原方程的解

④求根公式法

一元二次方程的根

根的判别式：

Δ>0，方程有两个不相等的实数根

Δ=0，方程有两个相等的实数根

Δ<0，方程没有实数根

根与系数的关系（韦达定理）

常见推论：

…………

正向题型：方程有没有根？怎么求整数根？
逆向题型：根据方程根的情况，求其他参数（某字母的值或取值范围）
讨论下根的正负性？
证明下根与其他参数的关系？
……

一元二次方程的应用

数字问题

常见题型：①已知连续两个奇数/偶数/整数的积是多少，求这两个数。
②已知给出某两位数个位数、十位数的条件，求满足条件的两位数。
注意：设合理的未知数。

增长率问题

常见题型：a是期初数值，x是平均增长率，b是增长后数值，求x。
基本公式：
（注意：如果x是降低率，为负值；或将“+”改为“-”）

营销问题

常见求利润的题目，已知初始销售量和销售价格，接着给出降价或涨价x元时与数量变化的关系，给出利润值，求x或与其相关的售价。
基本公式：总利润=总售价-总成本价=（单件售价-单件成本）×销售量（据此可列一元二次方程）

几何问题

常见围栅栏、铺地毯题型。
如，已知某长方形的三边长之和与其面积，求长和宽分别是多少？
注意：长、宽取值范围限定了x的解

比赛/握手/送礼物等问题

【不重复问题】例题：参加聚会的人两两握手，一共握了某些次，求有多少人？
基本公式：设有x人，则一共握了次
【重复问题】基本公式：总次数=

传播问题

常见于流感传染，已知某人患了流感，经过两轮传播了某些人，求个人传染能力x。
分析：第一轮：1→x，共（x+1）人患了流感
第二轮：x+1→x(x+1)，故患流感人数共

其它

工程问题

行程问题

信息图表

其它……

当

在的条件下，有如下讨论：
1.当，方程的两根必一正一负。
①若，此方程正根 ≥ |负根|；
②若，此方程正根 < |负根|。
2. 当时，方程的两根必同正或同负。
①若，此方程有两个正根；
②若，此方程有两个负根

怎么求最大利润？（涉及到一元二次函数）

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沪教版第17章一元二次方程思维导图

数学

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