设A是n阶矩阵（要求是方阵，若非方阵，也可研究=>Grama矩阵），λ是一个数，若存在n维非零列向量ξ，使得Aξ=λξ，则称λ是A的特征值，ξ是A的对应于特征值λ的特征向量，换个角度来说，矩阵乘以非零向量其实就是对该向量进行伸缩变换，而这个伸缩变换可以用一个值来代替
于是，求解具体型矩阵的特征值与特征向量，一般先用特征方程求出，再解齐次线性方程组，求出特征向量，特征向量要的是非零解
是的特征值（建立方程求参数或证明行列式=>向量组线性相关）；
不是的特征值（矩阵可逆，满秩）.
(2) 若是的n个特征值，则
例如四阶
一阶主子式：选取 1 个行和列（下标相同），共 4 个，分别为：（行 1、列 1）、（行 2、列 2）、（行 3、列 3）、（行 4、列 4）。
2 阶主子式
选取 2 个行和列（下标相同且排序），共 个，例如：
3阶主子式（注意和子式的区别）
ξ(≠0)是A的属于λ 0的特征向量⇔ξ是的非零解 ．
k重特征值λ至多只有k个线性无关的特征向量 (不用证明)．
若是A的属于不同特征值的特征向量，则线性无关 ．
③若是的属于同一特征值的特征向量，则非零向量仍是的属于特征值的特征向量．(常考其中一个系数)
④若是的属于不同特征值的特征向量，则当时，不是的任何特征值的特征向量．(常考的情形)
设是 的两个不同的特征值，是对应于 的特征向量，则 不是对应于 的特征向量
(即一个特征向量不能属于两个不同的特征值).
同一特征值对应的特征向量属于特征值对应的特定子空间，而不同的特征值的特征向量对应不同的子空间，因为在这个子空间中让给定向量做伸缩变换效果都是一致，因此前者特征向量线性组合还是特征值对应子空间的特征向量，而后者就不是
虽然的特征向量仍然是，但是特征向量不是，需要单独计算
结论需记住
满足方程这里只是说明是特征值的候选键，而特征值需要从这些候选键里面选取
定义：设是两个n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵，使得，则称相似于，记成．矩阵相似必等价，但等价不一定相似
相似矩阵的特征值必相同
相似变换的不变量是各阶主子式之和
必要条件
证明：两边同时取逆、取伴随、取转置
设为n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵，使得，其中是对角矩阵，则称可相似对角化，记，称是的相似标准形．P没有唯一性，只要特征值对应即可
当矩阵 A可相似对角化时，可逆矩阵 P 的列向量都是 A的特征向量
充要条件
充分条件
除了使用特征向量的方法，还可使用矩阵乘法的思想
A是实对称矩阵，则A的特征值是实数，特征向量是实向量 (不用证明).
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.
一定要记得单位化！！！
施密特正交化
需要注意的是在实对称矩阵，相同特征值对应的线性无关的特征向量才可以正交化，不同特征值对应的线性无关的特征向量无法正交化（因为已经垂直了，没必要）
特征值相同是两个矩阵相似的必要条件
但特征值相同的矩阵也不一定相似
A,B均是实对称矩阵时，
A,B相似的充分必要条件是：A,B有相同的特征值．
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