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高等数学思维导图

初高中知识

因式分解

定义：将一个多项式分解成几个式子相乘除的形式

方法

提公因式法

公式法

平方差

立方差

立方和

完全平方

十字相乘法

适用：一元二次多项式

分级方法：①两边分解②交叉相乘③相加配中

解不等式

依据：

不等式两边同时加减任意数，不等号不变号

不等式两边同时乘除一个正数，不等号不变号

不等式两边同时乘除一个负数，不等号变号

一次不等式

区间表示

二次不等式

求解方法：①二次项系数化为正②取等求根③大于取两边，小于取中间（化为正后）

二次方程根的求解:

根的情况：

，两个不相等的实根

，两个相等的实根

，无实根，有一对共轭复根

求根方法

因式分解（十字相乘法、配方法）

十字相乘法：①两边分解②交叉相乘③相加配中

配方法：①二次项系数化为一，化为正②配一次项系数一般的平方

公式法：

绝对值不等式

第一章函数与极限

第一节函数的基础知识

一、函数的概念

对应法则：对变量的约束

对运算的约束

对范围的约束

二、基本初等函数（反、对、幂、三、指）

初等函数定义：是由基本初等函数经过四则运算或复合运算形成的一个表达式的函数

公理：初等函数在其定义域内都是连续可导的（无需证明）

（一）幂函数

①②③增函数④奇函数

①②③无单调性④偶函数

①②③增函数④奇函数

①②③无单调性④奇函数

①②③增函数

①②③无单调性

图像

（二）指数函数

①②③增函数

①②③减函数

图像

注：

①

②、、、、

（三）对数函数

图像

注：

①、、

②

③

④

⑤

⑥

⑦、、

⑧

（四）三角函数

（五）反三角函数

六卦图

（一）三角函数之间的关系

①对角线倒数

②倒三角平方和

③邻点奇

（二）三角函数导数之间的关系（发“靠”音求导多加一个“负号”）

①上互换

②中下方

③下中下

特殊角三角函数

诱导公式

三角函数的符号

第一象限全为正，二正三切四余弦

诱导公式（诱骗公式）目的

解决非特殊角的三角函数，把非特殊角的三角函数诱导（诱骗）成特殊角的三角函数

k为偶

k为奇

三、求函数定义域

（1）具体函数定义域

（2）抽象函数定义域

题型一：已知简单函数定义域，求复合函数定义域

作法：已知简单非复合函数的定义域，即的范围，也即复合函数中的范围，然后反解出的范围，即为复合函数的定义域

题型二：已知复合函数定义域，求简单函数定义域

作法：已知复合函数的定义域，即的范围，然后求出中间变量的范围，就是简单函数的定义域

题型三：已知复合函数定义域，求复合函数定义域

作法：已知复合函数的定义域，即的范围；然后求出中间变量的范围，也即复合函数的中间变量，然后再解出的范围即的定义域

（3）求函数表达式

四、判断两个函数是否相同

①定义域相同

②对应法则相同

五、函数的四种性质

（一）有界性

①定义：或

②常见有界函数：、、反三角函数

③外层函数有界，则复合函数有界

（二）单调性

判断

①利用图像

②求导：一阶导大于0 --单调增；反之，递减

（三）奇偶性

（1）判断：

求，若推出为偶函数；若推出为奇函数

（2）常见的奇偶函数

奇：

、、、、、、、、、、、、

偶：

、、、、、、

非奇非偶：

、、

（3）运算性质

（四）周期性

六、反函数与复合函数

定义：的反函数，把当自变量当因变量，所定义的新函数

求解：①反解②互换，，③标明定义域（原函数值域）

第二节数列的极限

一、数列

等差数列

////

等比数列

////

二、数列极限的定义

三、收敛与发散

第三节函数的极限

一、定义

极限存在充要条件：
互推

二、性质

1、唯一性

2、局部有界性

3、局部保号性

第四节无穷大与无穷小

一、定义

（1）无穷小：极限为0

（2）极限为无穷大

二、左右极限讨论

第五节极限运算法则

一、定理

定理1：

①无穷小×有界=无穷小

②

③

定理2：设

二、

抓大头、洛必达

三、

有分母→通分

无分母，有根式→有理化

第六节极限存在准则和两个重要极限

一、夹逼定理

已知得

难点：对放大的和缩小的

注：单调有界数列必有极限

二、两个重要极限

(第一类重要极限)

（第二类重要极限）

本质：①满足1后加无穷小量②指数位置互为倒数③与的趋近方式无关

第七节无穷小的比较

一、高阶、低阶、同阶、等价

阶

2个无穷小量趋近0的速度

高阶

2个无穷小量跑向0速度快的量

同阶无穷小量

2个无穷小量在跑向0的过程中，速度仅差倍数关系

等价无穷小量

2个无穷小量在跑向0的过程中，速度一样快

、、互为同阶无穷小

、、互为等价无穷小

、、是的高阶无穷小（是的低阶去穷小）

二、常见等价无穷小

（1）

①等价于

②等价于

③等价于、、等价于

(2)等价无穷小的代换

①

②想要使用无穷小的函数与其相邻函数的运算必须是相乘除，不能是加减

第八节函数的连续性与间断点

一、函数连续

函数在整个定义域内是连续的。注：一笔画

函数在某一点处是连续的

①”跳跃型“间断

②“去掉型（可去型）”间断

二、函数间断点

间断点分类

第一类间断点
（左右极限都存在）

可去间断点

①处左右极限都存在，但在处无定义

①处左右极限都存在，且处有定义不相等

跳跃间断点

左右极限都存在，但不相等

第二类间断点
（处左右极限不存在）

无穷间断点

处的左右极限至少有一个为无穷

振荡间断点

当时为振荡间断点

判断方法

1、找可能间断点

函数无定义的点

分段函数的分段点

2、判断可疑间断点

对求左右极限

只要左右极限有一个不存在（无穷\振荡），即为第二类间断点

若左右极限都存在，相等是”可去“间断点，不相等是“跳跃”间断点

第九节极限反问题与渐近线

极限的反问题

1、

理论：已知

→

注：已知一个分式的极限非0存在且分子→0推出分母→0

2、

分子最高次系数/分母最高次系数

∞

3、

求出型极限值与已知极限值结合反求未知参数

求函数渐进线

1、水平

2、垂直

（为曲线无定义点）

第十节闭区间上连续函数的性质

一、最值定理

若在上连续，则在上有界，且一定能取得它的最大值和最小值

注：有最值但不一定在区间端点a,b上取得

二、零点定理

设在闭区间上连续，且，则存在使

用法

利用零点定理证明根的存在性（证：等式（且不含导数））

①构造辅助函数：对已知方程或函数移项为一端为0一端非0，去非零端为辅助函数，设为

②验证零点定理的两个条件：显然

闭区间连续

端点值异号

③由零点定理得结论：至少存在一点，使，也即在内至少存在一个实根

第二章导数与微分

第一节导数的概念

一、导数的定义

导数存在充要条件

存在 ⇿=

题型

①已知具体点处的导数值，求一个极限式——配导数第一定义（技巧：去‘’法）

②判断分段函数在分段点处的导数存在或者计算分段函数在分段点处的导数值——用导数第二定义判断或计算要分左右导数

第二节导数的几何意义

二、导数几何意义

（1）（在几何上表示曲线在点处的）切线斜率

切线方程：

法线方程：

三、可导与连续的关系

（一）函数可连续性与可导性的关系

①可导一定连续

②连续不一定可导

③不连续一定不可导

（二）函数连续与可导性在图像上的反应

函数连续：’一笔画‘

函数可导：’一笔画‘且光滑

第三节函数求导法则

一、和差积商求导法则

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）复合函数求导：

二、复合函数求导法则

整体观念法：对每一层分别求导后在相乘

第四节高阶导数

一、记号

一阶导：

二阶导：

二、求阶导的一般方法

数学归纳法

三、常见高阶导

（1）、、、、

（2）、、
、、

（3）、、

第五节隐函数及参数方程所确定的函数的导数

一、隐函数的导数

标准形式：

求导方法：

方程两边同时对求导，然后解出即可

注：由于是隐函数关系，中有，所以在求导过程中，要把当成复合函数来看待，即把当成要用复合函数求导法（对求导时把当成复合函数，对求导后再乘一个）

二、参数方程确定的函数的导数

（1）定义：通过中间变量产生的函数关系

（2）求导方法

第六节函数的微分

一、函数的微分

二、具体点出的微分

三、一元函数

可微互推可导

四、运算法则

①

②

③

④

五、微分在近似计算中的应用

求导公式

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

第三章微分中值定理与导数应用

第一节微分中值定理

一、罗尔定理

连续；可导；(端点值相等)；至少存在一点使

题型：证明根的存在性/证等式

零点定理：求证中不含导数

罗尔定理：求证中含导数/零点定理失效

证明步骤

①构建辅助函数：把等式移项为一端为零，一端非零，取非零端的原函数为辅助函数

②显然，在连续，可导，且

③由罗尔定理得：至少存在一点使；也即抄题

二、拉格朗日中值定理

连续；可导；至少存在一点，使

题型；证不等式（三项不等式）

证明步骤：

①构造辅助函数：把三项不等式得中间项写成差的形式，其中差形式得共同函数即为辅助函数

②验证拉氏的条件：显然，在连续可导

③由拉氏定理得：

④对辅助函数求导，得

⑤由③、④联立成一个等式

⑥由得范围放缩等式成不等式、、、

第二节洛必达法则

第四节函数的单调性与区间的凹凸性

一、函数单调性

（1）定义

（2）判断

求导

（3）驻点

(一阶导等于0的点)

（4）求单调区间

①求定义域

②求出全部驻点，一阶导不存在的点

③用所有的驻点和一阶导不存在的点划分定义域成若干的区间

④判断子区间上的符号

（5）作用：证不等式（两项不等式）

步骤：

①构造辅助函数：把不等式移项为一端为0，一端非0为辅助函数

②对求导判断单调性（若不能判断，则继续求导，最高不能超过三阶导）

③结合区间的端点完成不等式证明

二、区间凹凸性与拐点

（1）定义

（2）判断凹凸性

→凹

→凸

（3）拐点

曲线的凹凸分界点

（4）求凹凸区间和拐点

1)求凹凸区间

2）求拐点

①求可能拐点

的点

不存在的点

②判断：看拐点两侧是否异号，若异号即为拐点

第五节函数的极值与最值

一、极值

（1）定义：

设在内有定义，，若称是一个极大值，是极大值点；若称是一个极小值，是极小值点

（2）求法（极值）：

①找可能极值点

不存在

②判断

法一：只适用于可能极值点驻点

二阶导非0的驻点一定是极值点

法二：适用于所有可能极值点

是极小值点

是极大值点

第四章不定积分

第一节不定积分的概念和基本公式

一、原函数与不定积分的概念

（1）原函数；若

是的导函数

是一个原函数

（2）不定积分：找所有原函数的过程就称为对求不定积分

二、基本积分公式

从导数公式出发

①，即是的一个原函数 →

②，，，，即
∫xαdx=(α+1xα+1)+C

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

⑩

⑩①

⑩②

⑩③

三、性质

（1）

（2）

第二节第一类换元积分法（凑微分）

依据：

类型：若发现被积函数中，一部分的导数是另一部分或另一部分的倍数

①被积函数中的求导项不动，比较项不要，再把求导项放后

②凑微分的过程中注意系数的配平

类型：分母可因式分解

方法：分母列项

第四节分部积分法

什么时候用：

用于求两类不同函数乘积的积分或被积函数只有一个函数的微分

把哪一个凑到后面

方法：两类不同函数按照‘反、对、幂、三、指’的顺序，哪一个函数顺序靠后，把那一个函数放后

注：放后的函数要变为原函数

第五章定积分

第一节概念与性质

一、定义：和式极限

注：

①上下限相等的定积分结果=0

②交换积分上下限，结果对一个负号

③保号性

二、几何意义

（1）,的值是曲边梯形的面积
的值是曲边梯形面积的负值

（2）有正值，的值是各部分曲边梯形面积的代数和

三、必要条件

（1）若在上连续→在上可积（存在）

（2）若在上有界，且仅有有限个第一类间断点→在上可积（存在）

四、性质

（1）

（2）区间可加性：

（3）(被积函数为一的定积分=区间长度)

（4）保号性：若则

推论①：比较两积分可以利用比较被积函数和的大小来进行

推论②：（被积函数加绝对值≥对定积分加绝对值）

（5）估值定理

（6）中值定理

第二节微积分基本公式

一、变限积分函数及其导数

（1）若在上连续，则

是在上的一个原函数

（2）若在上连续，则

二、牛顿—莱布尼茨公式

若是连续函数在上的一个原函数，则：

第五节定积分的“奇0偶倍”

0 →奇

→偶

第六章定积分的应用

一、平面图形的面积

1、X型

（1）X型平面图形的面积：曲线沿轴方向围成的平面图形

（2）X型平面图形的特点（判断依据）

在图形内做一条垂直于轴的射线需满足

只能有两条交线

随着射线的平移，2条交线不能发生变化

注：随着实现的平移，若交线发生变化，在交线发生变化的点处，把图形分成2个X型

（3）把X型平面图形写成不定式，即写出图形中的范围和的范围

（4）把图形D(不等式组)写成定积分

2、Y型

（1）Y型平面图形的面积：曲线沿轴方向围成的平面图形

（2）Y型平面图形的特点（判断依据）

在图形内做一条垂直于轴的射线需满足

只能有两条交线

随着射线的平移，2条交线不能发生变化

注：随着实现的平移，若交线发生变化，在交线发生变化的点处，把图形分成2个Y型

（3）把Y型平面图形写成不定式，即写出图形中的范围和的范围

（4）把图形D(不等式组)写成定积分

3、混合型

二、利用定积分求旋转体的体积

圆片法（圆型转）（多Π多平方）

驻壳法（异型转）（多乘2Π多乘自变量）

第七章微分方程

第一节基本概念

一、微分方程

定义：含有自变量，未知函数及其导数（或微分）的等式称为微分方程

常用微分方程：未知数是一元函数的微分方程

二、阶

定义：方程中未知数导数的最高阶阶数为方程的阶

三、线性微分方程

和自身之间或彼此之间只能进行线性运算（加减、数乘）

四、解

通解

含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与方程阶数相同的解

特解

不含任意常数的解

第二节可分离变量的微分方程

一、标准方程

（1）(理想状态)

（2）或（方程可化为在左边，右边是纯函数与纯函数相乘的形式）

二阶常系数线性非齐次微分方程

一、标准形式

解法：二阶常系数线性非齐次方程的解法

（1）先求出其对应齐次方程的通解Y

（2）再求出非齐次方程的特解

（3）则非齐次方程的通解

重点：二阶常系数线性非齐次方程的特解

（1）

（2）

第八章向量代数与空间解析几何

一、空间直角坐标系

(1)坐标系（空间直角坐标系）

①坐标轴上的点

②坐标平面

注：轴（面上）点的特点：轴（面）没有哪个字母，哪个字母=0

③对称点

关于原点、关于坐标轴、关于坐标平面

注：关于哪个字母对称，哪个字母不变，其余字母变负

（2）两点间的距离

距离

二、向量及预算

(1)向量的概念

1）定义：既有大小又有方向的量

2）表示

①坐标关系

②向量表示

3）向量的模：向量的长度（大小）

4）单位向量：模长为1的向量

5）单位化

6）向量的方向角

（2）向量的线性运算

①向量加减向量=对应坐标相加减

②数乘向量=用数分别去乘向量的分量

（3）向量的数量积

1）定义：向量的乘法（积）

数量积（点乘）

向量积（叉乘）

定义式：
→

2）计算式：

3）性质

点乘自己=

交换律

4）充要条件

（4）向量的向量积

1）

2）计算：

补充：二阶行列式

3)性质

(5)投影

在上的投影：

记忆方法：不管谁在谁的头上的投影，本质都是用2个向量点乘，然后，在谁上的投影就除以谁的模长

（6）两向量的位置关系及夹角

1）对应坐标成比例：若成比例则平行

2）不成比例，做点乘，若等于0则垂直

3）既不成比例点乘又不为0，求

空间平面方程

平面的点法式方程

平面方程的一般式

方程中的系数=0平面就平行于谁

平面在平行轴的基础上“加d=0”平面过这个轴

第九章多元函数微分法及其应用

第一节多元函数基本概念

一、求二元函数表达式

二元：

（1）求二元函数的复合函数

方法：直接代入

（2）已知表达式求表达式

①配凑法：把恒等变形后凑出

②换元法

二、二元函数的极限（二重极限）

（1）判断极限不存在

方法：沿不同路径极限不相等

（2）求二元函数极限

方法：除洛必达不能用，其他方法同一元函数求极限（化简先行、对症下药）

三、二元函数的连续

第十章二重积分

第一节二重积分的概念和性质

一、概念

（1）定义

、、、、

（2）几何意义

二、性质

（1）线性性质（加减、数乘）

（2）积分区域可加性

（3）

（4）保号性

（5）估值定理

（6）积分中值定理

第二节二重积分的计算

一、利用直角坐标系计算二重积分

1、X型积分区域D

积分区域D为XD时，二重积分的计算

（1）判断类型——XD

向D做一条垂线

垂线与D的边界有且仅有2个交线

随着垂线的平移，交线不会发生变化

（2）把XD写成不等式组：XD

常数≤x≤常数

函数≤y≤函数

（3）把不等式组写成2个定积分后计算二重积分

方法：把不等式组中的2个不等式全部写成积分限（2个定积分需要2组上下限）

注：①积分变量和积分限一致

②XD计算二重积分先写关于x的积分，后写关于y的积分，先写的积分没有被积函数

后写的积分先算（先写的积分后算）

2、Y型积分区域D

积分区域D为YD时，二重积分的计算

（1）判断类型——YD

在D内向y轴作垂线

垂线与D的边界有且仅有2个交线

随着垂线的平移，交线不会发生变化

（2）把YD写成不等式组：YD

（3）把不等式组写成2个定积分后计算二重积分

方法：把不等式组中的2个不等式全部写成积分限（2个定积分需要2组上下限）

注：①积分变量和积分限一致

②YD计算二重积分先写关于x的积分，后写关于y的积分，先写的积分没有被积函数

后写的积分先算（先写的积分后算）

第十一章曲线积分

第一节对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

一、概念与性质

（1）概念

（2）性质

线性性质

积分可加性

保号性

二、计算

（把第一类曲线积分转换为定积分计算）

直角坐标曲线

参数方程曲线

第二节对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

一、概念与性质

（2）性质

变换积分路径的方向会产生负号

积分路径的可加性

二、计算

曲方代入

直接算（把曲线积分代入第二类曲线积分后直接计算该第二类曲线积分）

第十二章无穷级数

第一节无穷级数的概念与性质

一、数项级数的概念

（1）数项级数：

若{}为数列，则称为一个数项级数；其中为数项级数的通项或一般项

（2）部分和

数项级数中一部分的和

（3）级数收敛与发散

若级数部分和的极限收敛于即，则称级数收敛，称为级数和（本质是一个极限）；反之发散，称级数发散

二、性质

（1）与敛散性相同

（2）若，都收敛，则也收敛

（3）在级数中去掉，加上或改变有限项，敛散性不变

（4）收敛级数加括号后，所得新级数仍收敛

（5）级数收敛的必要条件

若收敛，则（收敛级数，通项的极限为0）

第二节三个重要的数项级数

一、正项级数

常数项级数中，若每一项都是正数（即通项）则称为正项级数。特别地，2个正项级数（正项等比级数，正项P级数）

（1）正项等比（q）级数：

收敛于

发散

（2）正项P级数

收敛

发散

推广：

收敛

发散

P：分母与分子最高幂次之差

二、交错级数

（常）数项级数中，若各项为正负交错的

特别地：

收敛

发散

常数项级数审验法

比较审验法

比值审验法

根植审验法（柯西）

莱布尼茨审验法

绝对值收敛和条件收敛

求未知数（级数与微积分建立联系）

1、幂级数的和函数的性质

2、求和级数的步骤

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