将图形上的所有点按照某个方向作相同距离的位置移动,叫做图形的平移运动。
平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。
1.平移后的图形与原来的图形的对应线线段平行且相等,对应角的大小相等.
如右图,线段AB与A'B'平行且相等,∠A=∠A'……
2.图形的形状和大小都没有发生变化.
3.平移后对应点所联结成的线段平行且相等.
如线段AA'、线段BB'、线段CC'互相平行且相等。
4.在平移过程中,某些对应线段、对应点所联结成的线段可能会在同一直线上.
如右图,A与A'、C与C'在同一直线上。
为什么呢?
作出平移图形
例,已知线段AB的长为6厘米,将它向左平移2厘米,点A平移到A',点B平移到B',得到线段A'B',那么线段BB'= 厘米.
求平移过程中扫过的面积
例,求平移后重叠部分的面积
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为图形的旋转,这个定点称为旋转中心,转过的角度称为旋转角 。
图形的旋转是由旋转中心,旋转角度和旋转方向决定的。
1.旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度.
2.旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等.
3.对应点到旋转中心的距离相等.
4.旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化.
如图,绕点C顺时针旋转90°得到,
绕点O逆时针旋转45°得到
(如何作图?)
判断是否为旋转得到的图形
例,试将梯形𝐴𝐵𝐶𝐷绕A点顺时针方向旋转60°画出旋转后的梯形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′。
求旋转中心的个数
例,如图,已知△ABC关于点O旋转后的图形是,试找出旋转中心点O。
如何找旋转中心?
连接两组对应点所成线段,其中垂线的交点即为旋转中心。
找/求旋转角
例, 一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示,AB=3,AD=2,若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点A所对应的数为1,则翻转2018次后,点B所对应的点是 。
例,已知E为正方形ABCD内一点,AD=5,AE=4,将绕着点A顺时针旋转90°得到,则边DE所扫过的区域(图中阴影部分)的面积为___.(结果保留π)
利用旋转的性质求解线段长度、角度、图形面积等
旋转综合题(几何变换)
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形。这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角0°<𝛼<360°).
如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做对称中心。这两个图形的对应点叫做关于中心的对应点。
判断是否为旋转对称图形
根据旋转对称图形求旋转角度
判断是否为中心对称图形
中心对称图形一定是旋转对称图形,
旋转对称图形不一定是中心对称图形。
中心对称的概念
把一个图形绕着一个定点旋转180°后,与另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这点对称,也叫做两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
两个图形成中心对称,这两个图形对应点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
中心对称作图
找对称中心
利用中心对称的性质求线段长度、角度、图形面积等
中心对称图形的规律问题
例,如图,已知△ABC,点A与点A'关于点O成中心对称,试画出对称中心点O和ΔABC的对称ΔA'B'C'。
如何找对称中心?
联结对应点,取其中点;
或联结两组对应点形成的线段,其交点即为对称中心。
把一个图形沿某一条直线翻折过来,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
折叠/翻折后所得的图形的形状和大小都没有变化。
画图形的翻折、折叠
如图,在中,AB=9,BC=7,CA=5,将沿直线折叠,恰好使点B与点A重合,直线l交边BC于点D,那么的周长是 .
识别轴对称图形
如果把一个图形沿某一条直线翻折,能与另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点.
性质1:两个图形关于一条直线成轴对称,那么这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等;这两个图形的形状相同,大小不变。
性质2:如果两个图形关于一条直线成轴对称,
那么这两个图形对称点的连线被对称轴垂直平分。
识别两个图形是否成轴对称
求对称轴的数量
画对称轴
如图,在中,AB=12cm ,AC=6cm ,BC=10cm ,点D,E分别在AC,AB上,且和关于BD对称.
(1)求AE的长;
(2)求的周长.
球在桌面上运动的轴对称问题
光线反射
车牌号码
钟表
电子钟
设计轴对称图案