（1）（唯一性）若{xn} 收敛，则极限唯一；
（2）（有界性）若{xn} 收敛，则{xn} 有界；
（3）（局部保号性）
推论
{xn} 收敛于 a ⇔ {xn} 的任意子列均收敛于 a
（1） x → x₀ 的极限
（2） x → ∞ 的极限
（1）（唯一性）
（2）（局部有界性）
（3）（局部保号性）
推论
（4）（海涅定理）
推论
（以 x → x₀ 为例）
（1）有限个无穷小的和为无穷小；
（2）有限个无穷小的积为无穷小；
（3）无穷小与有界函数的积为无穷小；
（4）极限与无穷小的关系
（当 x → 0 时）
β (x) ~ α(x) ⇔ β (x) = α(x) + o(α(x))
（以 x → ∞ 为例）
（1）无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大；
（2）无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大.
例如：当 x → ∞ 时， f (x) = xsin x 是无界函数，但不是无穷大.
（以 x → x₀ 为例）若 f (x), g(x) 满足：
当 x → 0 时
（1）乘除可以代换，加减最简形式不抵消时可以代换；
（2） x → 0 可以推广为□→ 0 .
定义
（1）分子阶数不低于分母阶数，加减不抵消；
（2） x → 0 可以推广为□→ 0 .
方法：洛必达、等价代换、或 Taylor 公式
方法：洛必达或抓大头
方法：同除简单因式，转化为0/0或∞/∞型
方法：通分、有理化或倒代换，转化为0/0或∞/∞型
常用公式
（1）适当放缩，证明有界性；
（2）作差、作商或求导证明单调性；
定积分定义求 n 项和的极限
二重积分定义求 n 项和的极限
若 f (x) 在 (a,b) 内每个点都连续，则称 f (x) 在 (a,b) 内连续.
若 f (x) 在 (a,b) 内连续，在 x = a 处右连续，在 x = b 处左连续，则称 f (x) 在[a,b] 上连续.
（1）连续函数经过有限次四则运算或复合运算得到的函数仍连续；
（2）基本初等函数在定义域内均连续，初等函数在定义区间内均连续.
f (x) 在 x = x₀ 处连续 ⇔ f (x) 在 x = x₀ 处既左连续又右连续.
（1）（最值定理）设 f (x) 在[a, b] 上连续，则 f (x) 存在最大值 M 与最小值 m ； 推论：（有界定理）设 f (x) 在[a,b] 上连续，则 f (x) 有界.
（2）（介值定理）设 f (x) 在[a, b] 上连续，最大值为 M ，最小值为 m ，则对任意 m ≤ µ ≤ M ，存在ξ ∈[a, b] ，使得 f (ξ ) = µ ； 推论：设 f (x) 在[a, b] 上连续，则对任意 x1, x2 , …… , xn ∈[a, b]，存在ξ ∈[a, b] ，使得
（3）（零点定理）设 f (x) 在[a, b] 上连续，且 f (a) f (b) < 0，则存在ξ ∈(a, b) ，使得 f (ξ ) = 0 .
若 f (x) 在点 x₀ 的某去心邻域内有定义，且 f (x) 在 x = x₀ 处不连续，则称点 x₀ 为f (x)的间断点.
定义：左右极限均存在的间断点.
（1）可去间断点：左右极限均存在且相等的间断点；
（2）跳跃间断点：左右极限均存在但不相等的间断点.
定义：左右极限至少有一个不存在的间断点.
（1）无穷间断点：左右极限至少有一个为无穷的间断点；
（2）震荡间断点：左右极限至少有一个不存在，且不是无穷的间断点.
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